Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм)

Уравне́ние Ланда́у — Ли́фшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.

ФормулировкаПравить

Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{M}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}],(1)$$\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}],\qquad (1)$ 

где $\mathbf{M}\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathbf{M}(\mathbf{r},t)$$\mathbf M\equiv \mathbf M(\mathbf r, t)$  — плотность магнитного момента (намагниченность), $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — некоторая феноменологическая постоянная, ${\mathbf{H}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathbf{H}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(\mathbf{r},t)$$\mathbf H^{\mathrm{eff}}\equiv \mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t)$  — так называемое эффективное магнитное поле.

Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в $S$$S$ -состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности. Это выполняется для CdCr₂Se₄, железо-иттриевого граната Y₃Fe₅O₁₂, пермаллоя Fe_20+xNi_80-x и большинства др. ферро- и ферримагнитных материалов.

Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту

${\mathbf{H}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(\mathbf{r},t)=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}F}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{M}}.(2)$$\mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t) = -\frac{\delta F}{\delta \mathbf M}.\qquad (2)$ 

В случае, когда рассматривается магнетик вдали от температуры Кюри или при нулевой температуре, то свободная энергия $F$$F$  равна внутренней $E$$E$ .

В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на $\mathbf{M}$$\mathbf {M}$ , что даст

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{M}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=0.(3)$$\frac{\partial \mathbf M^2}{\partial t} = 0.\qquad (3)$ 

Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.

Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен, поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина ${\mathbf{S}}_n$${\mathbf S}_{n}$ 

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{S}}_n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=[\mathcal{H},{\mathbf{S}}_n],(4)$$i\hbar\frac{\partial \mathbf S_n}{\partial t} = [\mathcal H, \mathbf S_n],\qquad (4)$ 

к уравнению (1) путём замены ${\mathbf{S}}_n\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\frac{a^3}{2{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B}\mathbf{M}({\mathbf{r}}_n)$$\mathbf S_n\to -\frac{a^3}{2\mu_B}\mathbf M(\mathbf r_n)$  и разложения поля намагниченности $\mathbf{M}({\mathbf{r}}_{n+n_0})$$\mathbf M(\mathbf r_{n+n_0})$  вблизи точки ${\mathbf{r}}_n$$\mathbf r_n$  в ряд Тейлора. Тут $[\bullet <!--\; \bullet \; -->,\bullet <!--\; \bullet \; -->]$$[\bullet,\bullet]$  — коммутатор, $\mathcal{H}$$\mathcal H$  — гамильтониан, ${\mathbf{S}}_n$${\mathbf S}_{n}$  — оператор спина для n-го узла решетки, а ${\mathbf{r}}_n$$\mathbf r_n$  — его радиус-вектор, $a$$a$  — постоянная решетки, ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_B$$\mu _{B}$  — магнетон Бора.

МодификацииПравить

Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.

Релаксационный член в форме Ландау — ЛифшицаПравить

Ландау и Лифшиц предложили следующую модификацию:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{M}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]-<!--\; -\; -->\frac{|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{M^2}\left[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]\right],(5)$$\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \frac{|\gamma|\lambda}{M^2}\left[\mathbf M \times [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}]\right],\qquad (5)$ 

где $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  — параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1=|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda_1=|\gamma|\lambda$ .

Уравнение Ландау — Лифшица — ГильбертаПравить

Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{M}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]+\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{M}\left[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{M}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right],(6)$$\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] + \frac{\alpha}{M}\left[\mathbf M \times \frac{\partial \mathbf M}{\partial t}\right],\qquad (6)$ 

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\to <!--\; \to \; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\to <!--\; \to \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}M}{1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2}.(7)$$\gamma\to \frac{\gamma}{1+\alpha^2},\quad \lambda\to \frac{\alpha M}{1+\alpha^2}.\qquad (7)$ 

В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6).

Уравнение Блоха — БломергенаПравить

Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{M}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_r(\mathbf{M}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_0{\mathbf{H}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}),(8)$$\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = -|\gamma|[\mathbf M\times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \omega_r(\mathbf M - \chi_0 \mathbf H^{\mathrm{eff}}),\qquad (8)$ 

где ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_0$$\chi_0$  — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_r$$\omega_r$  — частота релаксации.

Влияние спин-поляризированного токаПравить

Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида $|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|\mathbf{T}$$|\gamma|\mathbf T$ . Один из подходов к его конкретизации состоит в разложении вектора $|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|\mathbf{T}$$|\gamma|\mathbf T$  по осям, направленным вдоль $\mathbf{M}$$\mathbf {M}$ , $[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{m}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}]$$[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]$  и $\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{m}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}]$$\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]$ . Тут ${\mathbf{m}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$$\mathbf m_{\mathrm{ref}}$  — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие

${\mathbf{T}}_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}=-<!--\; -\; -->\frac{|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|a_J}{M_s}\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{m}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}],{\mathbf{T}}_{\perp <!--\; \perp \; -->}=|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|b_J[\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{m}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}],(9)$$\mathbf T_{\parallel} = - \frac{|\gamma|a_J}{M_s}\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\quad \mathbf T_{\perp} = |\gamma|b_J[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\qquad (9)$ 

где коэффциценты $a_J$$a_J$  и $b_J$$b_J$  пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между $\mathbf{M}$$\mathbf {M}$  и ${\mathbf{m}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$$\mathbf m_{\mathrm{ref}}$ .

Другие формы записиПравить

Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных сферической системы координат $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  и $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ . В таком случае вектор намагничености можно представить как

$M_x+i{M}_y=M_s\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{e}^{i\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}},M_z=M_s\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$$M_{x}+iM_{y}=M_{s}\sin \theta e^{i\phi },\quad M_{z}=M_{s}\cos \theta ,$ 

где $M_s$$M_s$  — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (6) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{M}$$\delta \mathbf M$ , выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->\frac{|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|}{M_s}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}E}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}},\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|}{M_s}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}E}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}.(10)$$\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta}.\qquad (10)$ 

Получение уравнений в угловых переменных содержащих дополнительные члены проделывается аналогично. Так для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->\frac{|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|}{M_s}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}E}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t},\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|}{M_s}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}E}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}.(11)$$\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi} - \alpha\sin^2\theta \frac{\partial \phi}{\partial t},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta} + \alpha \frac{\partial \theta}{\partial t}.\qquad (11)$ 

См. такжеПравить

• Ландау, Лев Давидович
• Лифшиц, Евгений Михайлович
• Ферромагнетики
• Ферримагнетики

ЛитератураПравить

• Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
• Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  ISBN 5-02-014366-9.
• Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
• Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
• Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
• Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
• Hubert, Alex; Rudolf Schäfer. Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures (англ.). — Springer, 1998. — P. 557. — ISBN 3540641084.

СсылкиПравить

• OOMMF — The Object-Oriented Micromagnetic Framework — свободно распространяемый программный пакет для микромагнитного моделирования, написанный на C++ и Tcl/Tk.
• Ферромагнитные домены