Унимодулярная решётка

Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем $\pm <!--\; \pm \; -->1$$\pm 1$. Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен $1$$1$.

ОпределенияПравить

• Решётка — свободная абелева группа ${\mathbb{Z}}^n$${\mathbb Z}^{n}$  конечного ранга $n$$n$  с симметричной билинейной формой $(\ast <!--\; \ast \; -->,\ast <!--\; \ast \; -->)$$({*},{*})$ .
• Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  с симметрической билинейной формой.
• Число $n$$n$  называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства; это то же, что и ранг $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ -модуля ${\mathbb{Z}}^n$${\mathbb Z}^{n}$ , или число образующих свободной группы ${\mathbb{Z}}^n$${\mathbb Z}^{n}$ .
• Решётка называется целой, если форма $(\ast <!--\; \ast \; -->,\ast <!--\; \ast \; -->)$$({*},{*})$  принимает только целочисленные значения.
• Норма элемента $a$$a$  решётки определяется как $(a,a)$$(a,a)$ .
• Решетка называется положительно определённой или лоренцевой, и так далее, если его векторное пространство таково. В частности:
  • Решётка является положительно определённой, если норма всех ненулевых элементов положительна.
  • Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве.
• Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса.
• Решётка называется унимодулярной, если её определитель равен $\pm <!--\; \pm \; -->1$$\pm 1$ .
• Унимодулярная решетка называется чётной, если все нормы её элементов чётны.

ПримерыПравить

• $\mathbb{Z}\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ , а также ${\mathbb{Z}}^n\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$  — унимодулярные решётки.
• Решётка E8, решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.

СвойстваПравить

• Для данной решётки в $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$  вектора $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x\in \mathbb {R} ^{n}$  такие, что $(x,a)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$(x,a)\in \mathbb {Z}$  для любого $a\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$a\in \Lambda$  также образуют решётку называемую двойственной решёткой к $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$ .
  • Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой.
  • Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными.
• Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур.
• Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой $(m,n)$$(m,n)$  существует тогда и только тогда, когда $m-<!--\; -\; -->n$$m-n$  делится на 8.
  • В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8.
• Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой.

ПриложенияПравить

• Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки.
  • В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий.
  • Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ .
    • В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.

ЛитератураПравить

• Bacher, Roland & Venkov, Boris (2001), Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28, in Martinet, Jacques, Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires, vol. 37, Monogr. Enseign. Math., Geneva: L'Enseignement Mathématique, с. 212–267, ISBN 2-940264-02-3  Архивная копия от 28 сентября 2007 на Wayback Machine
• Conway, J.H. & Sloane, N.J.A. (1999), Sphere packings, lattices and groups, vol. 290 (Third ed.), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98585-9 
• King, Oliver D. (2003), A mass formula for unimodular lattices with no roots, Mathematics of Computation Т. 72 (242): 839–863, DOI 10.1090/S0025-5718-02-01455-2 
• Milnor, John & Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms, vol. 73, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, DOI 10.1007/978-3-642-88330-9 
• Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic, vol. 7, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90040-3, DOI 10.1007/978-1-4684-9884-4 

Внешние ссылкиПравить

• Каталог унимодулярных решёток Нила Слоуна.
• Sloane's A005134 : Number of n-dimensional unimodular lattices", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.