Удлинённая треугольная пирамида

Удлинённая треуго́льная пирами́да — один из многогранников Джонсона (J₇, по Залгаллеру — М₁+П₃).

Удлинённая треугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	7 граней 12 рёбер 7 вершин Χ = 2
Грани	4 треугольника 3 квадрата
Конфигурация вершины	1(33) 3(3.42) 3(32.42)
Двойственный многогранник	удлинённая треугольная пирамида
Развёртка
Классификация
Обозначения	J7, М1+П3
Группа симметрии	C3v

Составлена из 7 граней: 4 правильных треугольников и 3 квадратов. Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; среди треугольных граней 1 окружена тремя квадратными, остальные 3 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 12 рёбер одинаковой длины. 3 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 6 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 3 — между двумя треугольными.

У удлинённой треугольной пирамиды 7 вершин. В 3 вершинах сходятся две квадратных грани и одна треугольная; в 3 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 1 вершине сходятся три треугольных грани.

Удлинённую треугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — правильного тетраэдра и правильной треугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив их друг к другу треугольными гранями.

Метрические характеристикиПравить

Если удлинённая треугольная пирамида имеет ребро длины $a$$a$ , её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\left(3+\sqrt{3}\right)a^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{4,732}0508a^2,$$S=\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 4{,}7320508a^{2},$ 

$V=\left(\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)a^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,550}8638a^3.$$V=\left({\frac {\sqrt {2}}{12}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}\right)a^{3}\approx 0{,}5508638a^{3}.$ 

В координатахПравить

Удлинённую треугольную пирамиду с длиной ребра $2$$2$  можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $\left(\pm <!--\; \pm \; -->1;-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{3};\pm <!--\; \pm \; -->1\right),$$\left(\pm 1;\;-{\frac {\sqrt {3}}{3}};\;\pm 1\right),$ 
• $\left(0;\frac{2\sqrt{3}}{3};\pm <!--\; \pm \; -->1\right),$$\left(0;\;{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}};\;\pm 1\right),$ 
• $\left(0;0;1+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right).$$\left(0;\;0;\;1+{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}\right).$ 

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из трёх плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

Заполнение пространстваПравить

С помощью удлинённых треугольных пирамид, квадратных пирамид (J₁) и/или октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрацию).

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Удлинённая треугольная пирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.