Трюк Даны Скотта

Трюк Даны Скотта — трюк, позволяющий факторизовать собственный класс в теории множеств Цермело — Френкеля. При помощи него в ZF можно определить изоморфный тип, в частности мощность множества. Возможность применения трюка Даны Скотта существенно зависит от аксиомы регулярности.

СутьПравить

Пусть $A$$A$  — некоторый непустой класс, на котором задано отношение-класс эквивалентности $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ . Требуется построить в некотором смысле факторкласс, то есть такой класс $A/\sim <!--\; \sim \; -->$$A/\sim$ , каждому элементу которого будет взаимо-однозначно соответствовать класс эквивалентности $A$$A$  по $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ .

Взять и просто определить $A/\sim <!--\; \sim \; -->$$A/\sim$  как совокупность всех классов эквивалентности $A$$A$  по $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  не получится — какие-то из классов эквивалентности могут оказаться собственными, а собственные классы не могут быть элементами других классов. Поэтому для определения такой конструкции приходится искать обходные пути. Один из таких путей был предложен Даной Скоттом.

Как известно, в ZF все множества полностью описываются иерархией фон Неймана, то есть каждое множество имеет ранг (эта часть полагается на аксиому регулярности). Если в некотором классе взять подкласс всех элементов какого-то определённого ранга — этот подкласс будет множеством. Это следует из двух простых фактов: того, что класс всех множеств определённого ранга образует множество, и того, что пересечение класса и множества — это множество. Такой подкласс (если он непуст) однозначно задаёт класс эквивалентности. В свою очередь если потребовать минимальность ранга, при котором подкласс будет непуст, то такой подкласс будет однозначно задаваться классом эквивалентности. В этом и состоит суть трюка Даны Скотта: замена полного класса эквивалентности его подмножеством, состоящим из элементов, имеющих минимальный ранг.

Более формально, введём обозначение для произвольного непустого класса $B$$B$ : $\mathrm{minrk}<!--\; \; -->B=\underset{b\in <!--\; \in \; -->B}{min}\mathrm{rk}<!--\; \; -->b$$\operatorname {minrk} B=\min \limits _{b\in B}\operatorname {rk} b$ . Тогда

Классом эквивалентности Даны Скотта элемента $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$  по отношению $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  назовём множество $[a]=\{x\in <!--\; \in \; -->a/\sim <!--\; \sim \; -->|\mathrm{rk}<!--\; \; -->x=\mathrm{minrk}<!--\; \; -->a/\sim <!--\; \sim \; -->\}$$[a]=\{x\in a/\sim |\operatorname {rk} x=\operatorname {minrk} a/\sim \}$  (здесь $a/\sim <!--\; \sim \; -->$$a/\sim$  обозначает обычный класс эквивалентности);

Факторклассом Даны Скотта класса $A$$A$  по отношению $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  назовём класс $A/\sim <!--\; \sim \; -->=\{[x]|x\in <!--\; \in \; -->A\}$$A/\sim =\{[x]|x\in A\}$ .

Такое определение удовлетворяет требованию, что каждому элементу факторкласса взаимо однозначно соответствует обычный класс эквивалентности.

ИспользованиеПравить

Мощность множестваПравить

Основное применение трюка Даны Скотта — определение мощности множества в ZF. Пусть $A$$A$  — класс всех множеств, $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  — отношение-класс равномощности. Тогда мощность множества $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$  — это его класс эквивалентности Даны Скотта по отношению равномощности:

$|a|=\{x\in <!--\; \in \; -->a/\sim <!--\; \sim \; -->|\mathrm{rk}<!--\; \; -->x=\mathrm{minrk}<!--\; \; -->a/\sim <!--\; \sim \; -->\}$$|a|=\{x\in a/\sim |\operatorname {rk} x=\operatorname {minrk} a/\sim \}$ .

При таком определении мощности класс всех кардинальных чисел это факторкласс Даны Скотта $A/\sim <!--\; \sim \; -->$$A/\sim$ .

Изоморфный типПравить

Обобщение предыдущего пункта — определение изоморфного типа. Пусть $A$$A$  — непустой класс каких-нибудь множеств, на которых определено отношение изоморфности $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  (например группы или кольца). Тогда изоморфный тип $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$  — это его класс эквивалентности Даны Скотта по отношению изоморфности:

$\mathrm{iso}<!--\; \; -->a=\{x\in <!--\; \in \; -->a/\sim <!--\; \sim \; -->|\mathrm{rk}<!--\; \; -->x=\mathrm{minrk}<!--\; \; -->a/\sim <!--\; \sim \; -->\}$$\operatorname {iso} a=\{x\in a/\sim |\operatorname {rk} x=\operatorname {minrk} a/\sim \}$ .

Нетрудно видеть, что это определение есть обобщение определения мощности множеств, так как изоморфность множеств без дополнительной структуры — это их равномощность, а их изоморфный тип — мощность. Более того, определение понятия изоморфного типа позволяет формально говорить о таких вещах как группа с точностью до изоморфизма, кольцо с точностью до изоморфизма и так далее.

См. такжеПравить

• Фактормножество
• Мощность множества
• Порядковый тип
• Изоморфный тип

ЛитератураПравить

• Scott, Dana (1955), Definitions by abstraction in axiomatic set theory, Bulletin of the American Mathematical Society Т. 61 (5): 442, doi:10.1090/S0002-9904-1955-09941-5, <http://www.ams.org/journals/bull/1955-61-05/S0002-9904-1955-09941-5/S0002-9904-1955-09941-5.pdf> 
• Jech, Thomas. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. — Springer, 2003. — ISBN 3-540-44085-2.
• Scott's trick (англ.). https://ncatlab.org. Дата обращения: 4 июня 2023.