Тор Клифтона — Поля

Тор Клифтона — Поля — пример компактного лоренцева многообразия, не являющегося геодезически полным. Пример показывает, что теорема Хопфа — Ринова не обобщается на псевдоримановы многообразия. Этот пример был построен (но не опубликован) Йитоном Клифтоном и Уильямом Полем в 1962 году.

ПостроениеПравить

Рассмотрим многообразие $M={\mathbb{R}}^2\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}$$M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$  с метрикой:

$g=\frac{2\cdot <!--\; \cdot \; -->dxdy}{x^2+y^2}$$g={\frac {2\cdot dx\,dy}{x^{2}+y^{2}}}$ 

Любая гомотетия является изометрией $M$$M$ , в частности, таково следующее отображение:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(x,y)=2\cdot <!--\; \cdot \; -->(x,y)$$\lambda (x,y)=2\cdot (x,y)$ 

Пусть $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — подгруппа группы изометрии, порожденная $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ . Фактор $M$$M$  по $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  является тором $T=M/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$T=M/\Gamma$  — он и называется тором Клифтона — Поля.

СвойстваПравить

Геодезическая неполнота

Легко проверить, что кривая

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(t):=\left(\frac{1}{1-<!--\; -\; -->t},0\right)$$\sigma (t):=\left({\frac {1}{1-t}},0\right)$ 

есть геодезическая в $M$$M$ , которая не полна (поскольку она не определена при $t=1$$t=1$ ). Следовательно, $M$$M$  и $T=M/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->},$$T=M/\Gamma ,$  не являются геодезически полными.

На самом деле, каждая нуль-геодезическая на $M$$M$ , а значит и на $T=M/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$T=M/\Gamma$ , не является полной.

Сопряженные точки

Торы Клифтона — Поля также не имеют сопряженных точек.