Тонкая структура

Не следует путать со сверхтонкой структурой.

Тонкая структура (мультиплетное расщепление) — явление в атомной физике, описывающее расщепление спектральных линий (уровней энергии, спектральных терм) атома.

Интерференционная картина, полученная в интерферометре Фабри — Перо от источника света в виде сильно охлаждённого дейтерия и демонстрирующая тонкое расщепление линий.

Макроскопическая структура спектральных линий — это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей. Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений. Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за спин-орбитального взаимодействия.

Релятивистские поправкиПравить

В классической теории кинетический член гамильтониана: $T=\frac{p^2}{2m}$$T={\frac {p^{2}}{2m}}$ 

Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии, $T=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}-<!--\; -\; -->m{c}^2$$T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}$ 

где первый член — это общая релятивистская энергия, а второй член — это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

$T=\frac{p^2}{2m}-<!--\; -\; -->\frac{p^4}{8m^3{c}^2}+\dots <!--\; \dots \; -->$$T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+\dots$ 

Отсюда, поправка первого порядка к гамильтониану равна $H^{\prime }=-<!--\; -\; -->\frac{p^4}{8m^3{c}^2}$$H'=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}$ 

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

$E_n^{(1)}=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0|H^{\prime }|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0|p^4|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0|p^2{p}^2|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->$$E_{n}^{(1)}=\langle \psi ^{0}\vert H'\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{4}\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle$ 

где ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0$$\psi ^{0}$  — невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

$H^0|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->=E_n|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->$$H^{0}\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle$ 

$\left(\frac{p^2}{2m}+U\right)|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->=E_n|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\left({\frac {p^{2}}{2m}}+U\right)\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle$ 

$p^2|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->=2m(E_n-<!--\; -\; -->U)|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->$$p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle =2m(E_{n}-U)\vert \psi ^{0}\rangle$ 

Далее, мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:

$E_n^{(1)}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0|p^2{p}^2|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->$$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle$ 

$E_n^{(1)}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0|(2m{)}^2(E_n-<!--\; -\; -->U{)}^2|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^0⟩<!--\; ⟩\; -->$$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-U)^{2}\vert \psi ^{0}\rangle$ 

$E_n^{(1)}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2m{c}^2}(E_n^2-<!--\; -\; -->2E_n⟨<!--\; ⟨\; -->U⟩<!--\; ⟩\; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->U^2⟩<!--\; ⟩\; -->)$$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle U\rangle +\langle U^{2}\rangle )$ 

Для атома водорода, $U=\frac{e^2}{r}$$U={\frac {e^{2}}{r}}$ , $⟨<!--\; ⟨\; -->U⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{e^2}{a_0{n}^2}$$\langle U\rangle ={\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}$  и $⟨<!--\; ⟨\; -->U^2⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{e^4}{(l+1/2)n^3{a}_0^2}$$\langle U^{2}\rangle ={\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}$  где $a_0$$a_{0}$  — боровский радиус, $n$$n$  — главное квантовое число и $l$$l$  — орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

$E_n^{(1)}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2m{c}^2}\left(E_n^2-<!--\; -\; -->2E_n\frac{e^2}{a_0{n}^2}+\frac{e^4}{(l+1/2)n^3{a}_0^2}\right)=-<!--\; -\; -->\frac{E_n^2}{2m{c}^2}\left(\frac{4n}{l+1/2}-<!--\; -\; -->3\right)$$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}{\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}\right)=-{\frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}\left({\frac {4n}{l+1/2}}-3\right)$ 

Связь спин-орбитаПравить

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}$${\vec {B}}$  и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}_s$${\vec {\mu }}_{s}$  сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_{SO}=\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(r)\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}$$\Delta E_{SO}=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}$ 

Спонтанное рождение электронно-позитронных парПравить

Спонтанное рождение электронно-позитронных пар вблизи электрона приводит к тому, что локализация электрона в атоме в области, меньшей его комптоновской длины волны $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{mc}$$\Delta x={\frac {\hbar }{mc}}$  невозможна и в результате возникает квадратичная флуктуация положения электрона $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}^2$$\Delta x^{2}$ . В результате внутри ядра потенциальная энергия электрона изменяется. Сдвиг энергии составляет: $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_{ep}=m(Z\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^4$$\Delta E_{ep}=m(Z\alpha )^{4}$ , где $m$$m$  — масса электрона, $Z$$Z$  — эффективный заряд ядра, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — постоянная тонкой структуры.

См. такжеПравить

• Сверхтонкая структура
• Постоянная тонкой структуры
• Лэмбовский сдвиг
• Мультиплет
• Спектральный терм

ЛитератураПравить

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (англ.). — Prentice Hall, 2004.
• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (англ.). — Addison-Wesley, 2002.

СсылкиПравить

• Hyperphysics: Fine Structure