Лэмбовский сдвиг

Лэ́мбовский сдвиг — различие между энергиями стационарных состояний ${}^2{S}_{1/2}$$^{2}S_{{1/2}}$ и ${}^2{P}_{1/2}$$^{2}P_{{1/2}}$ атома водорода и в водородоподобных ионах, обусловленное взаимодействием атома с нулевыми флуктуациями электромагнитного поля. Экспериментальное изучение смещения уровней атома водорода и водородоподобных ионов представляет фундаментальный интерес для проверки теоретических основ квантовой электродинамики.

История открытияПравить

Экспериментально установлен У. Ю. Лэмбом (англ. Willis Lamb) и Р. Ризерфордом в 1947 году. В том же году теоретически объяснён Хансом Бете.

В 1955 году за свою работу Уиллис Юджин Лэмб был удостоен Нобелевской премии.

В 1938 году расчёты, по существу предсказывающие лэмбовский сдвиг, провёл Д. И. Блохинцев, но его работа была отклонена редакцией журнала ЖЭТФ и была опубликована лишь в 1958 году в трудах Д. И. Блохинцева.

Суть эффектаПравить

Сдвиг уровней — это небольшое отклонение тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов от предсказаний релятивистской квантовой механики, основанных на уравнении Дирака. Согласно точному решению этого уравнения атомные уровни энергии являются двукратно вырожденными: энергии состояний с одинаковым главным квантовым числом $n=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$$n=1,2,3,\dots$  и одинаковым квантовым числом полного момента $j=1/2,3/2,\dots <!--\; \dots \; -->$$j=1/2,3/2,\dots$  должны совпадать независимо от двух возможных значений орбитального квантового числа $l=j\pm <!--\; \pm \; -->1/2=n-<!--\; -\; -->1$$l=j\pm 1/2=n-1$  (исключая $j+1/2=n$$j+1/2=n$ , когда $l=j-<!--\; -\; -->1/2=n-<!--\; -\; -->1$$l=j-1/2=n-1$ ).

Однако Лэмб и Ризерфорд методом радиоспектроскопии обнаружили расщепление уровней ²S_1/2 (n = 2, l = 0, j = 1/2) и ²Р_1/2 (n = 2, l = 1, j = 1/2) в атоме водорода, которые по расчётам Дирака должны были совпадать. Величина сдвига пропорциональна ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{3}R$$\alpha ^{3}R$ , где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — постоянная тонкой структуры, $R$$R$  — постоянная Ридберга. Основной вклад в величину сдвига дают два радиационных эффекта:

1. испускание и поглощение связанным электроном виртуальных фотонов, что приводит к изменению эффективной массы электрона и возникновению у него аномального магнитного момента;
2. возможность виртуального рождения и аннигиляции в вакууме электронно-позитронных пар (т. н. поляризация вакуума), что искажает кулоновский потенциал ядра на расстояниях порядка комптоновской длины волны электрона (~4⋅10⁻¹¹ см).

Определённый вклад вносят также эффекты движения и внутренней структуры ядра.

Научно-популярное объяснениеПравить

Результатом взаимодействия атома с нулевыми колебаниями электромагнитного поля (вакуумные флуктуации поля) являются дополнительные «колебания» электрона, что проявляется в смещении уровня энергии электрона. Это явление называется лэмбовским сдвигом. Другими словами, сдвиг энергии обусловливается нулевыми флуктуациями, т. е. не равными нулю среднеквадратичными значениями напряжённостей электрического (E) и магнитного (B) полей, под действием которых электрический заряд оказывается эффективно как бы размазанным. Это уменьшает действие кулоновского потенциала и повышает уровень энергии s-состояний.

Эффекты, связанные с поляризацией вакуума, т. е. с рождением электрон-позитронных пар, дают относительно малый вклад в лэмбовский сдвиг.

См. также: Состояние Фока

ЭкспериментПравить

В 1947 Уиллис Лэмб и Роберт Ризерфорд провели эксперимент с использованием микроволнового излучения для стимулирования радиочастотных переходов между квантовыми уровнями атома водорода ${}^2{S}_{1/2}$$^{2}S_{{1/2}}$  и ${}^2{P}_{1/2}$$^{2}P_{{1/2}}$ . Разница в энергии, найденная Лэмбом и Ризерфордом для перехода между ${}^2{S}_{1/2}$$^{2}S_{{1/2}}$  и ${}^2{P}_{1/2},$$^{2}P_{1/2},$  составила ~1060 МГц.

Эта разность является эффектом квантовой электродинамики и может интерпретироваться как влияние виртуальных фотонов, которые испустились и были повторно перепоглощены атомом. В квантовой электродинамике электромагнитное поле квантуется так же, как и гармонический осциллятор в квантовой механике. Основное состояние поля имеет энергию $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2$$\hbar \omega /2$ , отличную от нуля (см. Состояния Фока), то есть нулевые колебания поля увеличивают энергию электрона. Радиус орбиты электрона заменяется на величину $(r+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}r)$$(r+\delta r)$ , что изменяет силу кулоновской связи электрона с ядром, поэтому вырождение уровней ${}^2{S}_{1/2}$$^{2}S_{{1/2}}$  и ${}^2{P}_{1/2}$$^{2}P_{{1/2}}$  состояний снимается. Новую энергию уровней можно записать как (используются атомные единицы)

$⟨<!--\; ⟨\; -->E_{\text{pot}}⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->\frac{Z{e}^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}⟨\frac{1}{r+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}r}⟩.$$\langle E_{\text{pot}}\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .$ 

Сам лэмбовский сдвиг при $l=0$$l=0$ :

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_{\text{Lamb}}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^5{m}_e{c}^2\frac{k(n,0)}{4n^3},$$\Delta E_{\text{Lamb}}=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}},$ 

и при $l\ne <!--\; \ne \; -->0$$l\neq 0$ , $j=l\pm <!--\; \pm \; -->1/2$$j=l\pm 1/2$ :

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_{\text{Lamb}}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^5{m}_e{c}^2\frac{1}{4n^3}\left[k(n,l)\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(j+\frac{1}{2})(l+\frac{1}{2})}\right],$$\Delta E_{\text{Lamb}}=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,l)\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(l+{\frac {1}{2}})}}\right],$ 

где $k(n,l)$$k(n,l)$  — малая величина (< 0,05).

Значение величиныПравить

В работе 1983 года измерение лэмбовского сдвига было выполнено при помощи двойного атомного интерферометра. Было получено значение 1057,8514(19) МГц.

Ещё более сильное, чем в атоме водорода, электромагнитное взаимодействие происходит между электронами и ядрами тяжёлых атомов. Исследователи из лаборатории GSI (Дармштадт, Германия) пропускали пучок атомов урана (зарядовое число 92) через фольгу, в результате чего атомы теряли все, кроме одного, из своих электронов, превращаясь в ионы с зарядом +91. Электрическое поле между ядром такого иона и оставшимся электроном достигало величины 10¹⁶ В/см. Измеренный лэмбовский сдвиг в ионе составил 468 ± 13 эВ — в согласии с предсказаниями квантовой электродинамики.

Лэмб экспериментально получил значение магнитного момента электрона, которое отличается в 1,001159652200 раза от значения магнетона Бора, предсказанного Дираком. Когда была создана теория перенормировок, лэмбовский сдвиг оказался первым физическим эффектом, на котором подтвердилась её правильность (и, соответственно, правильность квантовой электродинамики, построенной с использованием этой перенормировки). Вычисленное новое теоретическое значение оказалось равно 1,001159652415 магнетона Бора, что поразительно точно совпадает с экспериментом.

По данным на 1996 год, вклад собственной энергии во втором порядке по константе связи (порядок величины $m\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}Z{)}^4$$m\alpha (\alpha Z)^{4}$ ) составляет 1077,640 МГц, поляризация вакуума во втором порядке по константе связи (порядок величины $m\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}Z{)}^4$$m\alpha (\alpha Z)^{4}$ ) составляет −27,084 МГц, релятивистские поправки (порядок величины $m\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}Z{)}^5$$m\alpha (\alpha Z)^{5}$ ) составляют 7,140 МГц, релятивистские поправки (порядок величины $m\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}Z{)}^6$$m\alpha (\alpha Z)^{6}$ ) равны −0,372 МГц, вклад собственной энергии в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины $m{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}Z{)}^4$$m\alpha ^{{2}}(\alpha Z)^{4}$ ) составляет 0,342 МГц, поляризация вакуума в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины $m{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}Z{)}^4$$m\alpha ^{{2}}(\alpha Z)^{4}$ ) равна −0,239 МГц, поправка на отдачу равна 0,359 МГц, поправка на конечный размер протона составляет 0,125 МГц.

Полуклассическая оценкаПравить

Оценим величину лэмбовского сдвига, исходя из классического уравнения движения электрона под воздействием нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме:

$m\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{r}=eE,$$m\delta {\ddot {r}}=eE,$

(1)

где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}r$$\delta r$  — отклонение электрона от орбиты, $E$$E$  — напряжённость электрического поля нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме.

Разложим напряжённость электрического поля по плоским волнам:

$E=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{E}_k\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{k}t,$$E=\sum _{k}E_{k}\cos \omega _{k}t,$

(2)

где ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k=kc.$$\omega _{k}=kc.$ 

Интегрируя уравнения движения (1), получаем $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}r=-<!--\; -\; -->\frac{e}{m}\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{E_k\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{k}t}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k^2}.$$\delta r=-{\frac {e}{m}}\sum _{k}{\frac {E_{k}\cos \omega _{k}t}{\omega _{k}^{2}}}.$  Среднее значение смещения $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}r$$\delta r$  равно нулю, а средний квадрат смещения будет отличен от нуля: $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{r}^2}=\frac{e^2}{2m^2}\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{E_k^2}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k^4}.$${\overline {\delta r^{2}}}={\frac {e^{2}}{2m^{2}}}\sum _{k}{\frac {E_{k}^{2}}{\omega _{k}^{4}}}.$ 

Используем формулу энергии нулевых колебаний

$W=\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}{E}^{2}dV=\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{2}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k.$$W={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{V}E^{2}\,dV=\sum _{k}{\frac {1}{2}}\hbar \omega _{k}.$

(3)

Разложение (2) в формуле (3) приводит к равенству $E_k^2=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k}{V},$$E_{k}^{2}={\frac {4\pi \hbar \omega _{k}}{V}},$  а средний квадрат амплитуды дрожания электрона на орбите будет равен $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{r}^2}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{V{m}^3}\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k^3}.$${\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2\pi e^{2}\hbar }{Vm^{3}}}\sum _{k}{\frac {1}{\omega _{k}^{3}}}.$ 

Заменим здесь суммирование по волновым векторам на интегрирование по частотам вакуумных фотонов $\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mapsto <!--\; \mapsto \; -->2V\int <!--\; \int \; -->\frac{dk}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}.$$\sum _{k}\mapsto 2V\int {\frac {dk}{(2\pi )^{3}}}.$  Множитель $2$$2$  отвечает двум возможным поляризациям фотона.

В результате для $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{r}^2}$${\overline {\delta r^{2}}}$  получаем следующий интеграл:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{r}^2}=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{mc}\right)}^2\int <!--\; \int \; -->\frac{d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}},$${\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2}{\pi }}\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {d\omega }{\omega }},$ 

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{e^2}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}c}$$\alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}$  — постоянная тонкой структуры.

Оценим верхний и нижний пределы интегрирования в этом выражении. Так как движение электрона имеет нерелятивистский характер, то импульс, получаемый от фотона нулевых колебаний, $\hbar k<mc.$ 

Верхний предел интегрирования

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{\text{max}}=\frac{m{c}^2}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}.$$\omega _{\text{max}}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.$ 

Нижний предел интегрирования

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{\text{min}}=\frac{E_n}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}=\frac{(Z{e}^2{)}^{2}m}{2n^2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^3},$$\omega _{\text{min}}={\frac {E_{n}}{\hbar }}={\frac {(Ze^{2})^{2}m}{2n^{2}\hbar ^{3}}},$ 

где $n=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$$n=1,2,3,\dots$  — главное квантовое число.

Таким образом, окончательно имеем

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{r}^2}=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{mc}\right)}^2\ln <!--\; \; -->\frac{2n^2}{(Z\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^2}.$${\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2}{\pi }}\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {2n^{2}}{(Z\alpha )^{2}}}.$ 

Размеры области, по которой изменяются координаты электрона, определяются величиной

$r_{\text{vac}}=\sqrt{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{r}^2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{mc}.$$r_{\text{vac}}={\sqrt {\overline {\delta r^{2}}}}={\frac {{\sqrt {\alpha }}\hbar }{mc}}.$ 

Вследствие влияния нулевых колебаний выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром вместо выражения

$V(r)=e\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$V(r)=e\varphi$ 

преобразуется к виду

$V(r)=V+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}V=e\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(r+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}r)=e\left[1+(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}r\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})+\frac{1}{2}(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}r\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{)}^2+\dots <!--\; \dots \; -->\right]\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(r).$$V(r)=V+\delta {V}=e\varphi (r+\delta r)=e\left[1+(\delta r\nabla )+{\frac {1}{2}}(\delta {r}\nabla )^{2}+\dots \right]\varphi (r).$

(4)

В этой формуле выполнено разложение потенциала ядра по малому параметру $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}r$$\delta r$ , а $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  — векторный дифференциальный оператор.

Усредняя уравнение (4) по дрожанию электрона и имея в виду уравнение Пуассона $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(r)=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(r),$$\Delta \varphi (r)=-4\pi \rho (r),$  получим дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{V}_{\text{vac}}=\frac{4}{3}e\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{mc}\right)}^2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(r)\ln <!--\; \; -->\frac{2n^2}{(Z\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^2}.$$\delta V_{\text{vac}}={\frac {4}{3}}e\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\rho (r)\ln {\frac {2n^{2}}{(Z\alpha )^{2}}}.$ 

Учитывая, что движение электрона в атоме водорода описывается волновой функцией $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(r),$$\psi (r),$  сдвиг уровней энергии $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{E}_{\text{vac}}=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{V}_{\text{vac}}⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{4m{c}^2}{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{n}^3}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(Z\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^4\ln <!--\; \; -->\frac{2n^2}{Z{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2},$$\delta E_{\text{vac}}=\langle \delta V_{\text{vac}}\rangle ={\frac {4mc^{2}}{3\pi n^{3}}}\alpha {(Z\alpha )^{4}}\ln {\frac {2n^{2}}{Z\alpha ^{2}}},$  где $|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(0){|}^2=\frac{Zm{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{n}^3},$$|\psi (0)|^{2}={\frac {Zm\alpha ^{3}}{\pi n^{3}}},$  а угловые скобки означают усреднение по движению электрона.

Численное значение полученной оценки $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{E}_{\text{vac}}$$\delta E_{\text{vac}}$  при $n=2$$n = 2$  составляет примерно 1000 МГц.

ЛитератураПравить

• Скалли М. О., Зубайри М. С. . Квантовая оптика / под ред. В. В. Самарцева. — Физматлит, 2003.
• Сдвиг уровней — статья из Большой советской энциклопедии.