Тождественное отображение

Тожде́ственное отображе́ние в математике — функция, переводящая аргумент в себя. Обычно часто обозначается в виде $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {id} _{X}(x)=x$ $\mathrm{id}_X(x) = x$

Для произвольной функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F\colon X\to Y$ $F\colon X\to Y$ её композиция с тождественным отображением не отличается от неё самой:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F\circ \mathrm {id} _{X}=F$ $F \circ \mathrm{id}_X = F$ ,
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {id} _{Y}\circ F=F$ $\mathrm{id}_Y \circ F = F$ .

В частности, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathrm {id} _{X}$ $\mathrm{id}_X$ является нейтральным элементом моноида, образованного отображениями из $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ , а также нейтральным элементом симметрической группы перестановок множества $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ .

Композиция биекции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F\colon X\to Y$ $F\colon X\to Y$ со своей обратной функцией $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F^{-1}$ $F^{-1}$ даёт тождественные отображения:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{X}$ $F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_X$ ,
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{Y}$ $F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_Y$ .