Тета-функция Рамануджана

Тета-функция Рамануджана обобщает тета-функции Якоби, не разрушая основные их свойства. В частности, тройное произведение Якоби принимает особенно элегантный вид, когда записывается в терминах тета-функции Рамануджана. Функция носит имя Сриниваса Рамануджана Айенгора.

ОпределениеПравить

Тета-функция Рамануджана определяется как

$f(a,b)=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}^{n(n+1)/2}{b}^{n(n-<!--\; -\; -->1)/2}$$f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}$ 

для |ab| < 1. Тождество тройного произведения Якоби тогда принимает вид

$f(a,b)=(-<!--\; -\; -->a;ab{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(-<!--\; -\; -->b;ab{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}.$$f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.$ 

Здесь выражение $(a;q{)}_n$$(a;q)_{n}$  означает q-символ Похгаммера. Тождества, вытекающие из этого

$f(q,q)=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{q}^{n^2}=(-<!--\; -\; -->q;q^2{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^2(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={(-q;q^{2})_{\infty }^{2}(q^{2};q^{2})_{\infty }}$ 

$f(q,q^3)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{q}^{n(n+1)/2}=(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(-<!--\; -\; -->q;q{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}$ 

$f(-<!--\; -\; -->q,-<!--\; -\; -->q^2)=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n{q}^{n(3n-<!--\; -\; -->1)/2}=(q;q{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }$ 

Последнее тождество является функцией Эйлера^[en], которая тесно связана с эта-функцией Дедекинда^[en]. Тета-функция Якоби может быть записана в терминах тета-функции Рамануджана:

$\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}(w,q)=f(q{w}^2,q{w}^{-<!--\; -\; -->2})$$\vartheta (w,q)=f(qw^{2},qw^{-2})$ 

Приложение в теории струнПравить

Тета-функция Рамануджана используется для определения критических размерностей в теории бозонных струн, теории суперструн и М-теории.