Тройное произведение Якоби

Тройное произведение Якоби — это математическое тождество:

$\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-<!--\; -\; -->1}{y}^2\right)\left(1+\frac{x^{2m-<!--\; -\; -->1}}{y^2}\right)=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^{n^2}{y}^{2n},$$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},$

для комплексных чисел x и y с $|x|<1$ и $y\ne <!--\; \ne \; -->0$$y\neq 0$.

Тождество предложил Карл Густав Якоб Якоби в труде Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (Новые принципы в теории эллиптических функций).

Тождество тройного произведения Якоби является тождеством Макдональда^[en] для аффинных корней системы типа A₁ и является формулой Вейля для знаменателей^[en] для соответствующей аффинной алгебры Каца-Муди^[en].

СвойстваПравить

Доказательство Якоби основывается на теореме о пятиугольных числах^[en] Эйлера, которая сама является частым случаем тождества тройного произведения Якоби.

Пусть $x=q\sqrt{q}$$x=q{\sqrt {q}}$  и $y^2=-<!--\; -\; -->\sqrt{q}$$y^{2}=-{\sqrt {q}}$ . Тогда имеем

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(q)=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->q^m\right)=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n{q}^{\frac{3n^2-<!--\; -\; -->n}{2}}.$$\phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.$ 

Тройное произведение Якоби позволяет также переписать тета-функцию Якоби как бесконечное произведение:

Пусть $x=e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$x=e^{i\pi \tau }$  и $y=e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}z}.$$y=e^{i\pi z}.$ 

Тогда тэта-функцию Якоби

$\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}(z;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{i}{n}^2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{i}nz}$$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}$ 

можно переписать в виде

$\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}^{2n}{x}^{n^2}.$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.$ 

Используя тождество тройного произведения Якоби, мы можем записать тэта-функцию как произведение

$\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}(z;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->e^{2m\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{i}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\right)\left[1+e^{(2m-<!--\; -\; -->1)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{i}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{i}z}\right]\left[1+e^{(2m-<!--\; -\; -->1)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{i}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{i}z}\right].$$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].$ 

Существует много различных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Оно принимает краткую форму, если его выразить в терминах q-символов Похгаммера:

$\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{q}^{\frac{n(n+1)}{2}}{z}^n=(q;q{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{z};q\right)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(-<!--\; -\; -->zq;q{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}},$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },$ 

где $(a;q{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$(a;q)_{\infty }$  — бесконечный q-символ Похгаммера.

Формула принимает особенно элегантный вид, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана. Для $|ab|<1$  её можно переписать как

$\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}^{\frac{n(n+1)}{2}}{b}^{\frac{n(n-<!--\; -\; -->1)}{2}}=(-<!--\; -\; -->a;ab{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(-<!--\; -\; -->b;ab{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}.$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.$ 

ДоказательствоПравить

Для аналитического случая см. книгу Апостола, первое издание которой было опубликовано в 1976. См. также ссылку ниже для доказательства, стимулированного физиками.

СсылкиПравить

• Краткое комбинаторное доказательство тождества, стимулированное физиками.