Тест Харке — Бера

Тест Ха́рке—Бе́ра (англ. Jarque-Bera test) — это статистический тест, проверяющий ошибки наблюдений на нормальность посредством сверки их третьего момента (асимметрия) и четвёртого момента (эксцесс) с моментами нормального распределения, у которого $S=0$$S=0$, $K=3$$K=3$.

В тесте Харке—Бера проверяется нулевая гипотеза ${\mathcal{H}}_0:<!--\; :\; -->S=0,K=3$${\mathcal {H}}_{0}\colon S=0,\ K=3$ против гипотезы ${\mathcal{H}}_1:<!--\; :\; -->S\ne <!--\; \ne \; -->0,K\ne <!--\; \ne \; -->3$${\mathcal {H}}_{1}\colon S\neq 0,\ K\neq 3$, где $S$$S$ — коэффициент асимметрии (Skewness), $K$$K$ — коэффициент эксцесса (Kurtosis)

ФормулировкаПравить

Тест выглядит следующим образом:

$JB=n\left(\frac{S^2}{6}+\frac{(K-<!--\; -\; -->3{)}^2}{24}\right)$$JB=n\left({\frac {S^{2}}{6}}+{\frac {(K-3)^{2}}{24}}\right)$ , где $S=\frac{\sum <!--\; \sum \; -->e_i^3}{n{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_{ML}^3}$$S={\frac {\sum e_{i}^{3}}{n{\hat \sigma }_{{ML}}^{3}}}$ , $K=\frac{\sum <!--\; \sum \; -->e_i^4}{n{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_{ML}^4}$$K={\frac {\sum e_{i}^{4}}{n{\hat \sigma }_{{ML}}^{4}}}$ , $e_i$$e_{i}$  — остатки модели, $n$$n$  — количество наблюдений, ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_{ML}^2=\frac{\sum <!--\; \sum \; -->e_i^2}{n}$${\hat \sigma }_{{ML}}^{2}={\frac {\sum e_{i}^{2}}{n}}$ , ML — обозначение метода максимального правдоподобия (Maximal Likelihood). Данная статистика имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы (${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_2^2$$\chi _{2}^{2}$ ), поскольку коэффициенты $S$$S$  и $K$$K$  асимптотически нормальны, следовательно, их квадраты при нормировке дадут две случайные величины, распределённые как ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1^2$$\chi _{1}^{2}$ . Чем ближе распределение ошибок к нормальному, тем меньше статистика Харке—Бера отличается от нуля. При достаточно большом значении статистики p-value будет мало, и тогда будет основание отвергнуть нулевую гипотезу (статистика попала в «хвост» распределения).

Свойства тестаПравить

Тест Харке—Бера является асимптотическим тестом, то есть применим к большим выборкам. Если ошибки распределены нормально, то в соответствии с теоремой Гаусса—Маркова оценки метода наименьших квадратов будут лучшими (иметь наименьшую дисперсию в классе линейных несмещённых оценок), и коэффициенты регрессии будут также распределены асимптотически нормально.

ЛитератураПравить

• Damodar N. Gujarati. Basic Econometrics. — 4. — The McGraw-Hill Companies, 2004. — С. 1002. — ISBN 978-0071123433.