Точечная оценка

То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, оцениваемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

ОпределениеПравить

Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n,\dots <!--\; \dots \; -->$$X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$  — случайная выборка для распределения, зависящего от параметра $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\theta \in \Theta$ . Тогда статистику $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n)$${\hat {\theta }}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ , принимающую значения в $\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\displaystyle \Theta$ , называют точечной оценкой параметра $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ .

ЗамечаниеПравить

Формально статистика $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\hat {\theta }}$  может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ . Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценокПравить

• Оценка $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}(X)$${\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X)$  называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

${\mathbb{E}}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\left[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right]=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\mathbb {E} _{\theta }\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta$ ,

где ${\mathbb{E}}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$\mathbb {E} _{\theta }$  обозначает математическое ожидание в предположении, что $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  — истинное значение параметра (распределения выборки $X$$X$ ).

• Оценка $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\hat {\theta }}$  называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
• Оценка ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_n={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_n(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n)$${\hat {\theta }}_{n}={\hat {\theta }}_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$  называется состоятельной, если она с увеличением объема выборки n стремится по вероятности к параметру генеральной совокупности: $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\forall \theta \in \Theta$ ,

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$${\hat {\theta }}_{n}\to \theta$  по вероятности при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ .

• Оценка ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_n$${\hat {\theta }}_{n}$  называется сильно состоятельной, если $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\forall \theta \in \Theta$ ,

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$${\hat {\theta }}_{n}\to \theta$  почти наверное при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ .

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

См. такжеПравить

• Интервальная оценка

ЛитератураПравить

• Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.