Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями

Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями (также N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса) — математическая и физическая модель, созданная для изучения частиц с помощью простой системы, подобной теории струн, с конформной симметрией. Это упрощённая игрушечная теория, основанная на теории Янга — Миллса, которая не описывает реальный мир, но полезна, поскольку она может служить испытательным полигоном для подходов к решению проблем в более сложных теориях. Она описывает вселенную, содержащую бозонные поля и фермионные поля, связанные 4 суперсимметриями (это означает, что обмен бозонными, фермионными и скалярными полями определённым образом оставляет предсказания теории инвариантными). Это одна из самых простых (потому что она не имеет свободных параметров, кроме калибровочной группы) и одна из немногих конечных квантовых теорий поля в четырёх измерениях. Её можно считать самой симметричной теорией поля, которая не связана с гравитацией.

ЛагранжианПравить

Лагранжиан для теории

$L=\mathrm{tr}<!--\; \; -->\left\{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2g^2}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+\frac{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_I}{8{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{F}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->i{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}^a{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{D}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_a-<!--\; -\; -->D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{X}^i{D}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{X}^i+g{C}_i^{ab}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_a[X^i,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_b]+g{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{C}}_{iab}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}^a[X^i,{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}^b]+\frac{g^2}{2}[X^i,X^j{]}^2\right\},$$L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\},$ 

где $F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^k={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^k-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^k+f^{klm}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^l{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^m$$F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}$  и индексы i, j = 1, …, 6, а также a, b = 1, …, 4. $f$$f$  представляет структурные константы определённой калибровочной группы. $C_i^{ab}$$C_{i}^{ab}$  представляет структурные константы группы R-симметрии SU(4), которая вращает 4 суперсимметрии. Как следствие теорем о неперенормировке, эта суперсимметричная теория поля фактически является суперконформной теорией поля .

Десятимерный лагранжианПравить

Вышеуказанный лагранжиан можно найти, начав с более простого десятимерного лагранжиана

$L=\mathrm{tr}<!--\; \; -->\left\{\frac{1}{g^2}{F}_{IJ}{F}^{IJ}-<!--\; -\; -->i\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^I{D}_I\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right\},$$L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\},$ 

где I и J пробегают значения от 0 до 9 и ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^I$$\Gamma ^{I}$  являются 32 на 32 гамма-матрицами $(32=2^{10/2})$$(32=2^{10/2})$  с последующим добавлением члена с ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_I$$\theta _{I}$  который является топологическим членом.

Компоненты $A_i$$A_{i}$  калибровочного поля для i от 4 до 9 становятся скалярами после устранения лишних измерений. Это также даёт интерпретацию SO(6) R-симметрии как поворотов в сверхкомпактных измерениях.

Путём компактификации на Т⁶ все суперзаряды сохраняются, давая N = 4 в 4-мерной теории.

Интерпретация теории струн типа IIB — это мировая теория стека D3-бран.

S-дуальностьПравить

Константы связи ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_I$$\theta _{I}$  и $g$$g$  естественно спариваются в форме:

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}+\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}{g^2}.$$\tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.$ 

Теория имеет симметрию, которая сдвигает $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  по целым числам. Гипотеза S-дуальности говорит, что есть также симметрия, которая посылает :$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\frac{-<!--\; -\; -->1}{n_G\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$\tau \mapsto {\frac {-1}{n_{G}\tau }}$  а также переключает группу $G$$G$  к её двойственной группе Ленглендса .

AdS/CFT-соответствиеПравить

Эта теория важна и в контексте голографического принципа. Существует двойственность между теорией струн типа IIB в пространстве AdS₅ × S⁵ (произведение 5-мерного пространства AdS с 5-мерной сферой) и N = 4 суперсимметричной теорией Янга — Миллса на 4-мерной границе AdS₅. Однако эта конкретная реализация AdS/CFT-соответствия не является реалистичной моделью гравитации, поскольку гравитация в нашей вселенной является 4-мерной. Несмотря на это, AdS/CFT-соответствие является наиболее успешной реализацией голографического принципа, спекулятивной идеи о квантовой гравитации, первоначально предложенной Герардом 'т Хоофтом, которая расширяла работу по термодинамике чёрных дыр, и была улучшена и продвинута в контексте теории струн Леонардом Сасскиндом .

ИнтегрируемостьПравить

Существует доказательство того, что N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса имеет интегрируемую структуру в плоском пределе больших N. Поскольку количество цветов (также обозначаемое N) становится бесконечным, амплитуды масштабируются как $N^{2-<!--\; -\; -->2g}$$N^{2-2g}$ , так что выживает только вклад рода 0 (планарный граф). Планарная теория Янга — Миллса — это теория с очень большим (бесконечным) количеством цветов.

Планарный предел — это предел, в котором амплитуды рассеяния преобладают на диаграммах Фейнмана, которым можно придать структуру планарных графов.

Beisert и соавт. дали обзорную статью, демонстрирующую, как в этой ситуации локальные операторы могут быть выражены через определённые состояния в «спиновых» цепочках, но на основе больших супералгебр Ли, а не SU(2) для обычного спина. Они поддаются техникам подстановки Бете. Они также строят действие ассоциированного янгиана на амплитуды рассеяния.

Нима Аркани-Хамед и соавт. также исследовали эту тему. Используя теорию твисторов, они находят описание (формализм амплитуэдра) в терминах позитивного грассманиана.

Отношение к 11-мерной М-теорииПравить

N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса может быть получена из более простой 10-мерной теории, и всё же супергравитация и М-теория существуют в 11 измерениях. Связь заключается в том, что если калибровочная группа U(N) SYM становится бесконечной как $N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$N\rightarrow \infty$ , она становится эквивалентной 11-мерной теории, известной как матричная теория.

См. такжеПравить

• 6D (2,0) суперконформная теория поля^[en]
• Расширенная суперсимметрия^[en]

СсылкиПравить

• Kapustin, Anton; Witten, Edward. Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program (англ.) // Communications in Number Theory and Physics : journal. — 2007. — Vol. 1, no. 1. — P. 1—236. — doi:10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1. — Bibcode: 2007CNTP....1....1K. — arXiv:hep-th/0604151.