Теоремы Мертенса

О теореме Мертенса о сходимости произведений Коши рядов см. Произведение Коши.

Теоремы Мертенса — это три результата 1874 года, связанные с плотностью простых чисел, доказанные Францем Мертенсом. Название «теорема Мертенса» может относиться также к его теореме в анализе.

В теории чиселПравить

Ниже $p⩽<!--\; ⩽\; -->n$$p\leqslant n$  означает все простые числа, не превосходящие n.

Первая теорема Мертенса:

$\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\ln <!--\; \; -->p}{p}-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->n$$\sum _{p\leqslant n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n$ 

не превосходит 2 по абсолютной величине для любого $n⩾<!--\; ⩾\; -->2$$n \geqslant 2$ . (последовательность A083343 в OEIS)

Вторая теорема Мертенса:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left(\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{p}-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->n-<!--\; -\; -->M\right)=0,$$\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-M\right)=0,$ 

где M — константа Майсселя — Мертенса (последовательность A077761 в OEIS). Более точно, Мертенс доказал, что выражение в скобках не превосходит по абсолютному значению

$\frac{4}{\ln <!--\; \; -->(n+1)}+\frac{2}{n\ln <!--\; \; -->n}$${\frac {4}{\ln(n+1)}}+{\frac {2}{n\ln n}}$ 

для любого $n⩾<!--\; ⩾\; -->2$$n \geqslant 2$ .

Третья теорема Мертенса:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\ln <!--\; \; -->n\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->n}{\prod <!--\; \prod \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{1}{p}\right)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}},$$\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },$ 

где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (последовательность A001620 в OEIS).

Изменение знакаПравить

В работе Робина о степени роста функции суммы делителей, опубликованной в 1983, Гай Робин доказал, что во второй теореме Мертенса разность

$\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{p}-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->n-<!--\; -\; -->M$$\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-M$ 

меняет знак бесконечно много раз, а в третьей теореме Мертенса разность

$\ln <!--\; \; -->n\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->n}{\prod <!--\; \prod \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{1}{p}\right)-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$$\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }$ 

также меняет знак бесконечно много раз. Результаты Робина аналогичны знаменитой теореме Литлвуда, что разность $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->li(x)$$\pi (x)-li(x)$  меняет знак бесконечно много раз. Никакого аналога числу Скьюза (верхней границе для первого натурального числа x, для которого $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)>li(x)$$\pi (x)>li(x)$ ) не известны для 2-ой и 3-ей теорем Мертенса.

Вторая теорема Мертенса и теорема о простых числахПравить

Относительно асимптотической формулы Мертенс указывает в своей статье на «две любопытные формулы Лежандра», первая является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая является прототипом третьей теоремы Мертенса — см. первые строки статьи). Он указывает, что формула содержится в третьем издании книги Лежандра «Théorie des nombres» (1830; Фактически, он упоминал её во втором издании, 1808), а также что более тщательно проработанную версию доказал Чебышёв в 1851. Заметим, что уже в 1737, Эйлер знал асимптотическое поведение этой суммы .

Мертенс дипломатично описывает своё доказательство как более точное и строгое. В действительности, ни одно из предыдущих доказательств неприемлемо по современным стандартам — вычисления Эйлера вовлекают бесконечность (гиперболический логарифм бесконечности и логарифм логарифма бесконечности!), аргументы Лежандра эвристичны, а доказательство Чебышева, хотя безупречное, опирается на гипотезу Лежандра — Гаусса, которая была доказана лишь в 1896 и после этого стала известна как теорема о распределении простых чисел.

Доказательство Мертенса не обращается к какой-либо недоказанной гипотезе (в 1874) и использует элементарный вещественный анализ. Доказательство опубликовано на 22 года раньше первого доказательства теоремы о распределении простых чисел, которая, в отличие от доказательства Мертенса, опирается на тщательный анализ поведения дзета-функции Римана как функции комплексного переменного. Доказательство Мертенса в этом отношении замечательно. Более того, в современных обозначениях из него получается

$\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{p}=\log <!--\; \; -->\log <!--\; \; -->x+M+O(1/\log <!--\; \; -->x)$$\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)$ 

с учётом того, что можно показать эквивалентность теоремы о распределении простых чисел (в её простейшей форме без оценки ошибки) формуле

$\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{p}=\log <!--\; \; -->\log <!--\; \; -->x+M+o(1/\log <!--\; \; -->x).$$\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).$ 

В 1909 Ландау с помощью более совершенной версии теоремы о распределении простых чисел доказал, что выполняется

$\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{p}=\log <!--\; \; -->\log <!--\; \; -->x+M+O(e^{-<!--\; -\; -->(\log <!--\; \; -->x{)}^{1/14}})$$\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})$ .

В частности, ошибка меньше, чем $1/(\log <!--\; \; -->x{)}^k$$1/(\log x)^{k}$  для любого фиксированного целого k. Простое суммирование по частям, использующее наиболее сильную форму теоремы о распределении простых чисел, улучшает формулу до

$\underset{p⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{p}=\log <!--\; \; -->\log <!--\; \; -->x+M+O(e^{-<!--\; -\; -->c(\log <!--\; \; -->x{)}^{3/5}(\log <!--\; \; -->\log <!--\; \; -->x{)}^{-<!--\; -\; -->1/5}})$$\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})$ 

для некоторого $c>0$$c>0$ .

В теории суммируемостиПравить

Основная статья: Произведение Коши

В теории суммирования теорема Мертенса утверждает, что если вещественный или комплексный бесконечный ряд

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$$\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ 

сходится к A, а другой ряд

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_n$$\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ 

сходится абсолютно к B, то их произведение Коши^[en] сходится к AB.

Литература для дальнейшего чтенияПравить

• Прахар К. Распределение простых чисел. — М.,: Мир, 1967.

• Яглом А.М., Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. — М.,: Гостехиздат, 1954. Задачи 167, 169, 170

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Mertens Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. Mertens Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Mertens' Second Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.