Число Скьюза

Число Скьюза (англ. Skewes number) — наименьшее натуральное число $n$$n$, такое, что, начиная с него, неравенство $\pi (n)<\operatorname {Li} (n)$ перестает выполняться,
где $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(n)$$\pi (n)$ — функция распределения простых чисел, а $\mathrm{Li}<!--\; \; -->(n)=\underset{2}{\overset{n}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{dt}{\ln <!--\; \; -->(t)}$$\operatorname {Li} (n)=\int \limits _{2}^{n}{\frac {dt}{\ln(t)}}$ — сдвинутый интегральный логарифм.

ИсторияПравить

В 1914 году Джон Литтлвуд дал неконструктивное доказательство того, что такое число существует.

В 1933 году Стэнли Скьюз^[en] оценил это число, исходя из гипотезы Римана, как ${\exp }^3<!--\; \; -->(79)=e^{e^{e^{79}}}\approx <!--\; \approx \; -->{10}^{{10}^{{10}^{34}}}$$\exp ^{3}(79)=e^{e^{e^{79}}}\approx 10^{10^{10^{34}}}$  — первое число Скьюза, обозначающееся ${\mathrm{S}\mathrm{k}}_1$${\mathrm {Sk}}_{1}$ .

В 1955 году Стэнли Скьюз дал оценку числа без предположения о верности гипотезы Римана: ${\exp }^4<!--\; \; -->(\mathrm{7,705})=e^{e^{e^{e^{\mathrm{7,705}}}}}\approx <!--\; \approx \; -->{10}^{{10}^{{10}^{963}}}$$\exp ^{4}(7{,}705)=e^{e^{e^{e^{7{,}705}}}}\approx 10^{10^{10^{963}}}$  — второе число Скьюза, обозначающееся ${\mathrm{S}\mathrm{k}}_2$${\mathrm {Sk}}_{2}$ . Это одно из самых больших чисел, когда-либо применявшихся в математических доказательствах, хотя и намного меньше, чем число Грэма.

В 1987 году Герман Риел^[en] без предположения гипотезы Римана ограничил число Скьюза величиной $e^{e^{27/4}}$$e^{{e^{{27/4}}}}$ , что приблизительно равно 8,185·10³⁷⁰.

По состоянию на 2022 году известно, что число Скьюза заключено между 10¹⁹ и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108}.