Константа Майсселя — Мертенса

Константа Майсселя — Мертенса — это математическая константа в теории чисел, определяемая как предел разности между гармоническим рядом, суммируемым только по простым числам, и натуральным логарифмом натурального логарифма:

В пределе сумма обратных значений простых чисел, меньших n, и функция ln(ln n) отличаются на константу, константу Майсселя — Мертенса (помечена буквой M).

$M=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left(\underset{p\le <!--\; \le \; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{p}-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->(\ln <!--\; \; -->n)\right)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+\underset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left[\ln \left(1-<!--\; -\; -->\frac{1}{p}\right)+\frac{1}{p}\right].$$M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln n)\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right].$

График гармонической суммы простых чисел для $n=2^{15},2^{16},\dots <!--\; \dots \; -->,2^{46}\approx <!--\; \approx \; -->7.04\times <!--\; \times \; -->{10}^{13}$$n=2^{15},2^{16},\ldots ,2^{46}\approx 7.04\times 10^{13}$ и приближение Мертенса для неё. График имеет по оси y длину 8 см и представляет интервал (2.5, 3.8). Если бы ось n была представлена в линейной шкале, а не в логарифмической, то она была бы длиной $5.33(3)\times <!--\; \times \; -->{10}^9$$5.33(3)\times 10^{9}$ км — размер Солнечной системы.

Здесь γ — постоянная Эйлера — Маскерони, которая имеет аналогичное определение для суммы по всем целым числам (не только по простым).

Константа названа именами Эрнста Майсселя и Франца Мертенса. Она упоминается также как константа Мертенса, константа Кронекера, константа Адамара — Валле-Пуссена или константа обратных значений простых чисел.

Значение M равно примерно

M ≈ 0,2614972128476427837554268386086958590516… (последовательность A077761 в OEIS).

Вторая теорема Мертенса^[en] устанавливает, что предел существует.

Факт, что имеется два логарифма (логарифм от логарифма) в пределе для константы Майсселя — Мертенса, можно рассматривать как следствие комбинации теоремы о распределении простых чисел и предела постоянной Эйлера — Маскерони.

В популярной культуреПравить

Константу Майсселя — Мертенса использовала компания Google для предложения цены на аукционе патента Nortel. Google выставил три предложения цены, основанных на математических константах — $1.902.160.540 (константа Бруна), $2.614.972.128 (константа Майсселя — Мертенса) и $3,14159 миллиарда (π).

См. такжеПравить

• Расходимость суммы обратных значений простых чисел
• Простая дзета-функция^[en]

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Mertens Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• On the remainder in a series of Mertens (postscript file)