Теорема тангенсов

Теорема тангенсов — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.

Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или, наоборот, два угла и одна сторона.

ИсторияПравить

Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201—1274), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.

Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.

ФормулировкаПравить

 

Рис. 1. Треугольник

На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что

$\frac{a-<!--\; -\; -->b}{a+b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}.$${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.$ 

ДоказательствоПравить

Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{b}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}.$${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.$ 

Пусть

$d=\frac{a}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{b}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}},$$d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},$ 

откуда

$a=d\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$a=d\sin \alpha$ 

$b=d\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}.$$b=d\sin \beta .$ 

Отсюда следует, что

$\frac{a-<!--\; -\; -->b}{a+b}=\frac{d\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->d\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{d\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+d\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}.$${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.$ 

Используя известное тригонометрическое тождество

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mp <!--\; \mp \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2},$$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}},\;$ 

получаем:

$\frac{a-<!--\; -\; -->b}{a+b}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{2\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}{2\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}.\mathrm{◼<!--\; ◼\; -->}$${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.\qquad \blacksquare$ 

Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\mathrm {tg} {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}$ .

Другое доказательство с использованием формул МольвейдеПравить

• Формулы Мольвейде имеют следующий вид:

$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos <!--\; \; -->\frac{A-<!--\; -\; -->B}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{C}{2}};$${\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} {\frac {C}{2}}}};$ 

$\frac{a-<!--\; -\; -->b}{c}=\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{A-<!--\; -\; -->B}{2}}{\cos <!--\; \; -->\frac{C}{2}}.$${\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} {\frac {C}{2}}}}.$ 

где $A,B,C$$A,\;B,\;C$  — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и $a,b,c$$a,\;b,\;c$  — длины сторон соответственно между вершинами $B$$B$  и $C$$C$ , $C$$C$  и $A$$A$ , $A$$A$  и $B$$B$ .

• Деля порознь правые и левые части двух последних равенств и приравнивая два полученных результата друг другу, имеем

$\frac{a+b}{a-<!--\; -\; -->b}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A-<!--\; -\; -->B}{2}}.$${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}}.$ 

• С учетом того, что $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->A-<!--\; -\; -->B}{2}=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A+B}{2}$$\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\pi -A-B}{2}}=\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}$ , окончательно имеем:

$\frac{a+b}{a-<!--\; -\; -->b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A+B}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A-<!--\; -\; -->B}{2}},$${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}},$ 

что и требовалось доказать.

См. такжеПравить

• Решение треугольников
• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формула половины стороны
• Формулы Мольвейде