Теорема котангенсов

Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Общий вид треугольника

ФормулировкаПравить

Пусть

$a,b,c$$a,b,c$  — длины трёх сторон треугольника,

$A,B,C$$A,B,C$  — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон $a,b,c$$a,b,c$ ,

$r$$r$  — радиус вписанной окружности треугольника и

$p=\frac{a+b+c}{2}$$p={\frac {a+b+c}{2}}$  — полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A}{2}=\frac{p-<!--\; -\; -->a}{r}$${\mathrm {ctg}}{{\frac {A}{2}}}={\frac {p-a}{r}}$ ,

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{B}{2}=\frac{p-<!--\; -\; -->b}{r}$${\mathrm {ctg}}{{\frac {B}{2}}}={\frac {p-b}{r}}$ ,

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}=\frac{p-<!--\; -\; -->c}{r}$${\mathrm {ctg}}{{\frac {C}{2}}}={\frac {p-c}{r}}$ ,

или эквивалентно:

$\frac{p-<!--\; -\; -->a}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(A/2)}=\frac{p-<!--\; -\; -->b}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(B/2)}=\frac{p-<!--\; -\; -->c}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(C/2)}=r$${\frac {p-a}{{\mathrm {ctg}}(A/2)}}={\frac {p-b}{{\mathrm {ctg}}(B/2)}}={\frac {p-c}{{\mathrm {ctg}}(C/2)}}=r$ .

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен отношению полупериметра минус длина противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

ОбобщениеПравить

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

СледствияПравить

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности $r=\sqrt{\frac{1}{p}(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)}$$r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}$ . Далее, так как площадь треугольника $S=pr$$S=pr$ , из теоремы котангенсов следует формула Герона.

См. такжеПравить

• Теорема косинусов
• Теорема о проекциях
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

См. такжеПравить

• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции