Теорема Котельникова

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона, теорема отсчётов) — фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывающее непрерывные и дискретные сигналы и гласящее, что «любую функцию $F(t)$$F(t)$, состоящую из частот от 0 до $f_1$$f_1$, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом менее чем через $1/(2f_1)$$1/(2f_{1})$ секунд».

При доказательстве теоремы взяты ограничения на спектр частот $0<\omega <\omega _{1}$, где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f$$\omega =2\pi f$.

ПояснениеПравить

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в ноль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой $f_c$$f_{c}$ ».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и из теоремы Котельникова вытекают следствия:

• любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой $f>2f_c$$f>2f_{c}$ , где $f_c$$f_{c}$  — максимальная частота, которая ограничена спектром реального сигнала;
• если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации (наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал $x(t)$$x(t)$  можно представить в виде интерполяционного ряда:

$x(t)=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x(k\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left[\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}(t-<!--\; -\; -->k\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})\right],$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta )\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{\Delta }}(t-k\Delta )\right],$ 

где $\mathrm{sinc}<!--\; \; -->(x)=\sin <!--\; \; -->(x)/x$$\operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x$  — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям $0<\Delta \leqslant {\frac {1}{2f_{c}}}$ . Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала $x(k\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})$$x(k\Delta )$ .

ИсторияПравить

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу «Certain topics in telegraph transmission theory» 1928 года, в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Кюпфмюллер^[en] получил тот же результат. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана Владимиром Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом: «Любую функцию $f(t)$$f(t)$ , состоящую из частот от 0 до $f_c$$f_{c}$ , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через $1/(2f_c)$$1/(2f_{c})$  секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 году (через 16 лет) доказал Клод Шеннон, поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов. Исторические изыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции рассматривалась в математическом плане многими учёными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем.

Вариации и обобщенияПравить

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов. Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся сдвинутыми копиями импульсной характеристики идеального фильтра нижних частот, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции $x(t)$$x(t)$  с финитным спектром $(\mathrm{supp}<!--\; \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}=[-<!--\; -\; -->f_c,f_c])$$(\operatorname {supp} {\hat {x}}=[-f_{c},f_{c}])$  на основе преобразований Фурье атомарных функций:

$x(t)=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x(k\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})\underset{n=1}{\overset{M}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left[\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{a^{n-<!--\; -\; -->1}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}(t-<!--\; -\; -->k\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})\right],$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta )\prod _{n=1}^{M}\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{a^{n-1}\Delta }}(t-k\Delta )\right],$ 

где параметры $a$$a$  и $M$$M$  удовлетворяют неравенству $a^{M-<!--\; -\; -->1}(a-<!--\; -\; -->2)+1>0$$a^{M-1}(a-2)+1>0$ , а интервал дискретизации:

$0<\Delta \leqslant {\frac {1}{2f_{c}}}\left[1+{\frac {a^{M-1}+1}{a^{M-1}(a-1)}}\right].$ 

См. такжеПравить

• Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона
• Частота Найквиста
• Основной цифровой канал
• Экстраполятор нулевого порядка
• Экстраполятор первого порядка
• Квантование (обработка сигналов)
• Передискретизация
• Теорема отсчётов в частотной области

ЛитератураПравить

• H. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
• Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.
• Биккенин Р. Р., Чесноков М. Н. Теория электрической связи. — М.: Издательский центр «Академия», 2010. — 329 с. — ISBN 978-5-7695-6510-6.

СсылкиПравить

• Теорема Котельникова на dsplib.org
• Sampling of analog signals Интерактивная презентация дискретизации по времени. Institute of Telecommunications, University of Stuttgart