Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках

Эта статья — о теореме о параллельных секущих. О теореме Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности см. Теорема об угле, опирающемся на диаметр окружности.

Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых.

ФормулировкиПравить

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезках

Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки:

$\frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2}=\frac{A_2{A}_3}{B_2{B}_3}=\frac{A_1{A}_3}{B_1{B}_3}.$${\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.$ 

ЗамечанияПравить

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае не параллельных прямых

 

Доказательство теоремы Фалеса

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые $A{A}_1||B{B}_1||C{C}_1||D{D}_1$$AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}$  и при этом $AB=CD$$AB=CD$ .

1. Проведём через точки $A$$A$  и $C$$C$  прямые, параллельные другой стороне угла. $A{B}_2{B}_1{A}_1$$AB_{2}B_{1}A_{1}$  и $C{D}_2{D}_1{C}_1$$CD_{2}D_{1}C_{1}$ . Согласно свойству параллелограмма: $A{B}_2=A_1{B}_1$$AB_{2}=A_{1}B_{1}$  и $C{D}_2=C_1{D}_1$$CD_{2}=C_{1}D_{1}$ .
2. Треугольники $△<!--\; △\; -->AB{B}_2$$\bigtriangleup ABB_{2}$  и $△<!--\; △\; -->CD{D}_2$$\bigtriangleup CDD_{2}$  равны на основании второго признака равенства треугольников

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■

 

ИсторияПравить

Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому. По легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки известной высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «Началах» Евклида (предложение 2 книги VI).

Вариации и обобщенияПравить

Обратная теоремаПравить

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

 

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что $\frac{C{B}_1}{C{A}_1}=\frac{B_1{B}_2}{A_1{A}_2}=\dots <!--\; \dots \; -->$${\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots$ , следует, что $A_1{B}_1||A_2{B}_2||\dots <!--\; \dots \; -->$$A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots$ .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма СоллертинскогоПравить

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:

Пусть $f$$f$  — проективное соответствие между точками прямой $l$$l$  и прямой $m$$m$ . Тогда множество прямых $Xf(X)$$Xf(X)$  будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть $f$$f$  — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых $Xf(X)$$Xf(X)$  будет коника (возможно, вырожденная).

В культуреПравить

• Аргентинская комедийная музыкальная группа Les Luthiers^[es] представила песню, посвящённую теореме;

• Ёшикагэ Кира из манги JoJo’s Bizarre Adventure использовал теорему посреди боя, дабы вычислить расстояние до цели.

См. такжеПравить

• Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

ЛитератураПравить

• Геометрия по Киселёву, § 188.

• Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7—9. — Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992.