Параллельные прямые

Паралле́льные прямы́е (от др.-греч. παράλληλος буквально «идущий рядом; идущий вдоль другого») в планиметрии — непересекающиеся прямые. В стереометрии две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Линейка для черчения параллельных прямых

В евклидовой геометрии Править

 

На чертежах параллельные линии выделяются одинаково направленными стрелками.

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными.

Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности.

Параллельность прямых $m$$m$  и $n$$n$  принято обозначать следующим образом: $m\parallel <!--\; \parallel \; -->n.$$m\parallel n.$ 

Свойства Править

• Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
• Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
  • Соответственные углы равны (Рис.1).
  • Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
  • Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).

Рис.1: Соответственные углы равны, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1$$\alpha =\alpha _{1}$ .	Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1$$\alpha =\gamma _{1}$ .	Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_1={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\alpha +\delta _{1}=180^{\circ }$ .

• Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
• Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.

Построение параллельных прямых Править

Построение двух параллельных прямых на плоскости с помощью циркуля и линейки можно разделить на несколько этапов:

1. Построение прямой $a$$a$ , относительно которой нужно построить параллельную прямую.
2. Построение прямой $b$$b$ , перпендикулярной прямой $a$$a$  (см. построение перпендикуляра).
3. Построение прямой $c$$c$ , перпендикулярной прямой b, и не совпадающей с прямой $a$$a$  (аналогично построению прямой $b$$b$ ).

 

В стереометрии Править

В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.

В геометрии Лобачевского Править

 

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые равнобежны (асимптотически параллельны) синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку $C$$C$  вне данной прямой $AB$$AB$  проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих $AB$$AB$ . Прямая $CE$$CE$  называется равнобежной прямой $AB$$AB$  в направлении от $A$$A$  к $B$$B$ , если:

1. точки $B$$B$  и $E$$E$  лежат по одну сторону от прямой $AC$$AC$ ;
2. прямая $CE$$CE$  не пересекает прямую $AB$$AB$ , но всякий луч, проходящий внутри угла $ACE$$ACE$ , пересекает луч $AB$$AB$ .

Аналогично определяется прямая, равнобежная $AB$$AB$  в направлении от $B$$B$  к $A$$A$ .

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися.

Свойства Править

• Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
  • Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.

• Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.

См. также Править

• Параллельность плоскостей
• Антипараллельные прямые
• Перпендикулярность
• Ортогональность