Теорема Пуанкаре о векторном поле

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

ФормулировкаПравить

Пусть на гладком замкнутом многообразии $M$$M$  определено гладкое векторное поле $V$$V$ , имеющее конечное число изолированных особых точек $A_1,A_2,\dots <!--\; \dots \; -->,A_n$$A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ . Тогда

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{J}_{A_i}(V)=\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(M),$$\sum _{{i=1}}^{{n}}J_{{A_{i}}}(V)=\chi (M),$ 

здесь $J_{A_i}(V)$$J_{{A_{i}}}(V)$  — индекс точки $A_i$$A_{i}$  относительно поля $V$$V$  и число $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(M)$$\chi (M)$  — эйлерова характеристика многообразия $M$$M$ .

ИсторияПравить

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году.

Вариации и обобщенияПравить

• Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями.

ЛитератураПравить

• Милнор Дж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
• Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Любое издание.