Теорема Пайерлса

Теорема Пайерлса — теорема квантовой статистической физики. Сформулирована и доказана Рудольфом Пайерлсом в 1930 году.

ФормулировкаПравить

Пусть $H$$H$  есть эрмитов оператор Гамильтона квантовой системы, $\left\{{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n\right\}$$\left\{\Phi _{n}\right\}$  есть произвольная ортонормированная совокупность волновых функций системы, $Q$$Q$  - статистическая сумма. Тогда справедливо неравенство:

$Q⩾<!--\; ⩾\; -->\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n,H{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n)}(1)$$Q\geqslant \sum _{n}e^{-\beta (\Phi _{n},H\Phi _{n})}(1)$ 

Равенство имеет место в том случае, когда $\left\{{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n\right\}$$\left\{\Phi _{n}\right\}$  есть полная система собственных функций оператора $H$$H$ .

ДоказательствоПравить

Пусть $\left\{{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n\right\}$$\left\{\Phi _{n}\right\}$  есть полная система ортонормированных волновых функций, удовлетворяющих граничным условиям и требованиям симметрии задачи. Тогда статистическая сумма $Q$$Q$  удовлетворяет тождеству

$Q\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n,e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n,H{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n)})$$Q\equiv \sum _{n}(\Phi _{n},e^{-\beta (\Phi _{n},H\Phi _{n})})$ .

Перепишем доказываемое равенство $(1)$$(1)$  в виде:

$Q⩾<!--\; ⩾\; -->q$$Q\geqslant q$ ,

где

$q\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n,H{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n)}$$q\equiv \sum _{n}e^{-\beta (\Phi _{n},H\Phi _{n})}$ 

Пусть ${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n$$\Psi _{n}$  есть полная система ортонормированных собственных функций оператора $H$$H$ :

$H{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n=E_n{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n$$H\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}$ .

Поскольку оператор $H$$H$  эрмитов, собственные значения $E_n$$E_{n}$  действительны. Существует унитарное преобразование $S_{nm}$$S_{nm}$ , переводящее $\left\{{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n\right\}$$\left\{\Psi _{n}\right\}$  в $\left\{{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n\right\}$$\left\{\Phi _{n}\right\}$ :

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n=\underset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}{S}_{nm}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_m$$\Phi _{n}=\sum _{m}S_{nm}\Psi _{m}$ ,

где $\left\{S_{nm}\right\}$$\left\{S_{nm}\right\}$  - совокупность комплексных чисел, удовлетворяющих условию:

$\underset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}{S}_{ln}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{S}_{lm}=\underset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}{S}_{nl}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{S}_{ml}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{nm}$$\sum _{l}S_{ln}^{*}S_{lm}=\sum _{l}S_{nl}^{*}S_{ml}=\delta _{nm}$ .

Поэтому

$Q=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n,e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}H}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n)=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n,e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}H}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n)=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{E}_n}$$Q=\sum _{n}(\Phi _{n},e^{-\beta H}\Phi _{n})=\sum _{n}(\Psi _{n},e^{-\beta H}\Psi _{n})=\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}$ .

Справедливо уравнение:

$Q-<!--\; -\; -->q=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(\underset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}|S_{nl}{|}^2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{E}_l}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\underset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}|S_{nl}{|}^2{E}_l}\right)(2)$$Q-q=\sum _{n}\left(\sum _{l}|S_{nl}|^{2}e^{-\beta E_{l}}-e^{-\beta \sum _{l}|S_{nl}|^{2}E_{l}}\right)(2)$ .

Для любого $n$$n$  следующие выражения удовлетворяют требованиям леммы:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{E}\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}|S_{nl}{|}^2{E}_l$${\overline {E}}\equiv \sum _{l}|S_{nl}|^{2}E_{l}$ ,

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f(E)}\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}|S_{nl}{|}^2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{E}_l}$${\overline {f(E)}}\equiv \sum _{l}|S_{nl}|^{2}e^{-\beta E_{l}}$ .

В уравнении $(2)$$(2)$  каждый член суммы имеет вид $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f(E)}-<!--\; -\; -->f(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{E})$${\overline {f(E)}}-f({\overline {E}})$  и согласно лемме положителен. Поэтому и вся сумма $Q-<!--\; -\; -->q⩾<!--\; ⩾\; -->0$$Q-q\geqslant 0$ , что завершает доказательство теоремы.

ЛеммаПравить

Пусть $\left\{x_n\right\}$$\left\{x_{n}\right\}$  есть совокупность действительных чисел, $\left\{c_n\right\}$$\left\{c_{n}\right\}$  есть совокупность действительных чисел, удовлетворяющих условиям $c_n⩾<!--\; ⩾\; -->0$$c_{n}\geqslant 0$  и $\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_n=1$$\sum _{n}c_{n}=1$ , $\mathrm{‵<!--\; ‵\; -->}{f}^{″}(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\backprime f''(x)\geqslant 0$ . Обозначим по определению $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f(x)}\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_{n}f(x_n)$${\overline {f(x)}}\equiv \sum _{n}c_{n}f(x_{n})$  для любой функции $f(x)$$f(x)$ . Тогда выполняется неравенство:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f(x)}⩾<!--\; ⩾\; -->f(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})$${\overline {f(x)}}\geqslant f({\overline {x}})$ .

По теореме о среднем значении:

$f(x)=f(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})+(x-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})f^{\prime }(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})+\frac{1}{2}(x-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}{)}^2{f}^{″}(x_1)$$f(x)=f({\overline {x}})+(x-{\overline {x}})f'({\overline {x}})+{\frac {1}{2}}(x-{\overline {x}})^{2}f''(x_{1})$ , где $x_1$$x_{1}$  - фиксированное действительное число.

Используя условие $\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_n=1$$\sum _{n}c_{n}=1$  получаем:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f(x)}=f(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})+\frac{1}{2}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{(x-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}{)}^2}{f}^{″}(x_1)$${\overline {f(x)}}=f({\overline {x}})+{\frac {1}{2}}{\overline {(x-{\overline {x}})^{2}}}f''(x_{1})$ .

Второй член здесь не отрицателен, потому что $c_n⩾<!--\; ⩾\; -->0$$c_{n}\geqslant 0$  и $f^{″}(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$f''(x)\geqslant 0$ .

Лемма доказана.

ЛитератураПравить

• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966. — С. 520.