Статистическая сумма

Статистическая сумма (или статсумма) (обозначается $Z$$Z$, от нем. Zustandssumme — сумма по состояниям) — это нормировочный коэффициент в знаменателе соответствующего статистического (вероятностного) распределения, при котором интегральная сумма этого вероятностного распределения (т.е. полная вероятность) по всем возможным состояниям равна 1. Статистическая сумма - важная величина в термодинамике и статистической физике, содержащая информацию о статистических свойствах системы в состоянии термодинамического равновесия. Она может являться функцией температуры и других параметров, таких как объём. Многие термодинамические величины системы, такие как энергия, свободная энергия, энтропия и давление, могут быть выражены через статистическую сумму и её производные.

Статистическая сумма в каноническом ансамблеПравить

ОпределениеПравить

Предположим, что имеется подчиняющаяся законам термодинамики система, находящаяся в постоянном тепловом контакте со средой, которая имеет температуру $T$$T$ , а объём системы и количество составляющих её частиц фиксированы. В такой ситуации система относится к каноническому ансамблю. Обозначим точные состояния, в которых может находиться система, через $j$$j$  $(j=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->)$$(j=1,2,3,\ldots )$ , а полную энергию системы в состоянии $j$$j$  — $E_j$$E_{j}$ . Как правило, эти микросостояния можно рассматривать как дискретные квантовые состояния системы.

Каноническая статистическая сумма — это

$Z=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{E}_j},$$Z=\sum _{j}e^{{-\beta E_{j}}},$ 

где обратная температура $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  определена как

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{1}{k_{B}T},$$\beta \equiv {\frac {1}{k_{B}T}},$ 

а $k_B$$k_B$  — это постоянная Больцмана. В классической статистической механике было бы некорректно определять статистическую сумму в виде суммы дискретных членов, как в приведённой выше формуле. В классической механике координаты и импульсы частиц могут меняться непрерывно, и множество микросостояний несчётно. В таком случае необходимо провести разбиение фазового пространства на ячейки, то есть два микросостояния считаются одинаковыми, если их различия в координатах и импульсах «не слишком велики». При этом статистическая сумма принимает вид интеграла. Например, статистическая сумма газа из $N$$N$  классических частиц равна

$Z=\frac{1}{N!h^{3N}}\int <!--\; \int \; -->\exp <!--\; \; -->[-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}H(p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_N,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_N)]d^3{p}_1\dots <!--\; \dots \; -->d^3{p}_N{d}^3{x}_1\dots <!--\; \dots \; -->d^3{x}_N,$$Z={\frac {1}{N!h^{{3N}}}}\int \exp[-\beta H(p_{1},\ldots ,p_{N},x_{1},\ldots ,x_{N})]\,d^{3}p_{1}\ldots d^{3}p_{N}\,d^{3}x_{1}\ldots d^{3}x_{N},$ 

где $h$$h$  — некоторая величина размерности действия (которая должна быть равна постоянной Планка для соответствия квантовой механике), а $H$$H$  — классический гамильтониан. Причины появления множителя $N!$$N!$  объяснены ниже. Для простоты в этой статье будет использоваться дискретный вид статистической суммы, но полученные результаты в равной мере относятся и к непрерывному виду.

В квантовой механике статистическая сумма может быть записана более формально как след по пространству состояний (который не зависит от выбора базиса):

$Z=\mathrm{t}\mathrm{r}(e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}H}),$$Z={\mathrm {tr}}\,(e^{{-\beta H}}),$ 

где $H$$H$  — оператор Гамильтона. Экспонента от оператора определяется с помощью разложения в степенной ряд.

Смысл и значимостьПравить

Сначала рассмотрим, от чего она зависит. Статистическая сумма является функцией температуры $T$$T$ , а также энергий микросостояний $E_1,E_2,E_3$$E_{1},E_{2},E_{3}$  и т. д. Энергии микросостояний определяются другими термодинамическими величинами, такими как число частиц и объём, а также микроскопическими свойствами, такими как масса частиц. Эта зависимость от микроскопических свойств является основной в статистической механике. По модели микроскопических составляющих системы можно рассчитать энергии микросостояний, а следовательно, и статистическую сумму, которая позволяет рассчитать все остальные термодинамические свойства системы.

Статистическая сумма может быть использована для расчёта термодинамических величин, поскольку она имеет очень важный статистический смысл. Вероятность $P_j$$P_{j}$ , с которой система находится в микросостоянии $j$$j$ , равна

$P_j=\frac{1}{Z}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{E}_j}.$$P_{j}={\frac {1}{Z}}e^{{-\beta E_{j}}}.$ 

Статистическая сумма входит в распределение Гиббса в виде нормировочного множителя (она не зависит от $j$$j$ ), обеспечивая равенство единице суммы вероятностей:

$\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{P}_j=\frac{1}{Z}\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{E}_j}=\frac{1}{Z}Z=1.$$\sum _{j}P_{j}={\frac {1}{Z}}\sum _{j}e^{{-\beta E_{j}}}={\frac {1}{Z}}Z=1.$ 

Вычисление термодинамической полной энергииПравить

Чтобы продемонстрировать полезность статистической суммы, рассчитаем термодинамическое значение полной энергии. Это просто математическое ожидание, или среднее по ансамблю значение энергии, равное сумме энергий микросостояний, взятых с весами, равными их вероятностям:

$⟨<!--\; ⟨\; -->E⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{E}_j{P}_j=\frac{1}{Z}\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{E}_j{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{E}_j}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{Z}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}Z(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},E_1,E_2,\dots <!--\; \dots \; -->)=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->Z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\langle E\rangle =\sum _{j}E_{j}P_{j}={\frac {1}{Z}}\sum _{j}E_{j}e^{{-\beta E_{j}}}=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \beta }}Z(\beta ,\;E_{1},\;E_{2},\;\ldots )=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}$ 

или, что то же самое

$⟨<!--\; ⟨\; -->E⟩<!--\; ⟩\; -->=k_B{T}^2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->Z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}T}.$$\langle E\rangle =k_{B}T^{2}{\frac {\partial \ln Z}{\partial T}}.$ 

Можно также заметить, что если энергии микросостояний зависят от параметра $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  как

$E_j=E_j^{(0)}+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{A}_j$$E_{j}=E_{j}^{{(0)}}+\lambda A_{j}$ 

для всех $j$$j$ , то среднее значение $A$$A$  равно

$⟨<!--\; ⟨\; -->A⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{A}_j{P}_j=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\ln <!--\; \; -->Z(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}).$$\langle A\rangle =\sum _{j}A_{j}P_{j}=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\ln Z(\beta ,\;\lambda ).$ 

На этом основан приём, позволяющий вычислить средние значения многих микроскопических величин. Нужно искусственно добавить эту величину к энергии микросостояний (или, на языке квантовой механики, к гамильтониану), вычислить новую статистическую сумму и среднее значение, а затем в итоговом выражении положить $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  равным нулю. Аналогичный метод применяется в квантовой теории поля.

Связь с термодинамическими величинамиПравить

В этом разделе приведена связь статистической суммы с различными термодинамическими параметрами системы. Эти результаты могут быть получены с помощью метода, описанного в предыдущем разделе, и различных термодинамических соотношений.

Как мы уже видели, энергия равна

$⟨<!--\; ⟨\; -->E⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->Z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}.$$\langle E\rangle =-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}.$ 

Флуктуация энергии равна

$⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{E}^2⟩<!--\; ⟩\; -->\equiv <!--\; \equiv \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->(E-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->E⟩<!--\; ⟩\; -->{)}^2⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\ln <!--\; \; -->Z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2}.$$\langle \delta E^{2}\rangle \equiv \langle (E-\langle E\rangle )^{2}\rangle ={\frac {\partial ^{2}\ln Z}{\partial \beta ^{2}}}.$ 

Теплоёмкость равна

$c_v=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}⟨<!--\; ⟨\; -->E⟩<!--\; ⟩\; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}T}=\frac{1}{k_B{T}^2}⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{E}^2⟩<!--\; ⟩\; -->.$$c_{v}={\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}={\frac {1}{k_{B}T^{2}}}\langle \delta E^{2}\rangle .$ 

Энтропия равна

$S\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->k_B\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{P}_j\ln <!--\; \; -->P_j=k_B(\ln <!--\; \; -->Z+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⟨<!--\; ⟨\; -->E⟩<!--\; ⟩\; -->)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}T}(k_{B}T\ln <!--\; \; -->Z)=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}T},$$S\equiv -k_{B}\sum _{j}P_{j}\ln P_{j}=k_{B}(\ln Z+\beta \langle E\rangle )={\frac {\partial }{\partial T}}(k_{B}T\ln Z)=-{\frac {\partial F}{\partial T}},$ 

где $F$$F$  — свободная энергия, определяемая как $F=E-<!--\; -\; -->TS$$F=E-TS$ , где $E$$E$  — полная энергия, а $S$$S$  — энтропия, так что

$F=⟨<!--\; ⟨\; -->E⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->TS=-<!--\; -\; -->k_{B}T\ln <!--\; \; -->Z.$$F=\langle E\rangle -TS=-k_{B}T\ln Z.$ 

Статистическая сумма подсистемПравить

Предположим, что система состоит из $N$$N$  подсистем, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало. Если статистические суммы подсистем равны ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1,{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_N$$\zeta _{1},\;\zeta _{2},\;\ldots ,\;\zeta _{N}$ , то статистическая сумма всей системы равна произведению отдельных статистических сумм:

$Z=\underset{j=1}{\overset{N}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_j.$$Z=\prod _{{j=1}}^{N}\zeta _{j}.$ 

Если подсистемы обладают одинаковыми физическими свойствами, то их статистические суммы одинаковы: ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1={\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2=\dots <!--\; \dots \; -->=\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$$\zeta _{1}=\zeta _{2}=\ldots =\zeta$ , и в этом случае

$Z={\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}^N.$$Z=\zeta ^{N}.$ 

Из этого правила, однако, есть одно известное исключение. Если подсистемы — это тождественные частицы, то есть, исходя из принципов квантовой механики, их невозможно различить даже в принципе, общая статистическая сумма должна быть разделена на $N!$$N!$ :

$Z=\frac{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}^N}{N!}.$$Z={\frac {\zeta ^{N}}{N!}}.$ 

Это делается, чтобы не учитывать одно и то же микросостояние несколько раз.

Статистическая сумма большого канонического ансамбляПравить

ОпределениеПравить

Аналогично канонической статистической сумме для канонического ансамбля, можно определить большую каноническую статистическую сумму для большого канонического ансамбля — системы, которая может обмениваться со средой и теплотой, и частицами, и имеет постоянную температуру $T$$T$ , объём $V$$V$  и химический потенциал $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ . Большая каноническая статистическая сумма, хотя и более сложна для понимания, упрощает расчёт квантовых систем. Большая каноническая статистическая сумма $\mathcal{Z}$${\mathcal {Z}}$  для квантового идеального газа записывается как:

$\mathcal{Z}=\underset{N=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{\{n_i\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{i}{\prod <!--\; \prod \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{n}_i({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})},$${\mathcal {Z}}=\sum _{{N=0}}^{\infty }\,\sum _{{\{n_{i}\}}}\,\prod _{i}e^{{-\beta n_{i}(\varepsilon _{i}-\mu )}},$ 

где $N$$N$  — общее количество частиц в объёме $V$$V$ , индекс $i$$i$  пробегает все микросостояния системы, $n_i$$n_{i}$  — число частиц в состоянии $i$$i$ , а ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i$$\varepsilon_i$  — энергия в состоянии $i$$i$ . $\{n_i\}$$\{n_{i}\}$  — всевозможные наборы чисел заполнения каждого микросостояния, такие что $\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{n}_i=N$$\sum _{i}n_{i}=N$ . Рассмотрим, например, слагаемое, соответствующее $N=3$$N=3$ . Один из возможных наборов чисел заполнения будет $\{n_i\}=0,1,0,2,0,\dots <!--\; \dots \; -->$$\{n_{i}\}=0,\;1,\;0,\;2,\;0,\ldots$ , он даёт вклад в слагаемое с $N=3$$N=3$ , равный

$\underset{i}{\prod <!--\; \prod \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{n}_i({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}{e}^{-<!--\; -\; -->2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_3-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}.$$\prod _{i}e^{{-\beta n_{i}(\varepsilon _{i}-\mu )}}=e^{{-\beta (\varepsilon _{1}-\mu )}}\,e^{{-2\beta (\varepsilon _{3}-\mu )}}.$ 

Для бозонов числа заполнения могут принимать любые целые неотрицательные значения при том, что их сумма равна $N$$N$ . Для фермионов, в соответствии с принципом запрета Паули, числа заполнения могут быть равны только 0 или 1, но их сумма опять же равна $N$$N$ .

Частные случаиПравить

Можно показать, что указанное выражение для большой канонической статистической суммы математически эквивалентно следующему:

$\mathcal{Z}=\underset{i}{\prod <!--\; \prod \; -->}{\mathcal{Z}}_i.$${\mathcal {Z}}=\prod _{i}{\mathcal {Z}}_{i}.$ 

(Это произведение иногда берётся по всем значениям энергии, а не по отдельным состояниям, и в этом случае каждая отдельная статистическая сумма должна быть возведена в степень $g_i$$g_i$ , где $g_i$$g_i$  — число состояний с такой энергией. $g_i$$g_i$  также называется степенью вырождения.)

Для системы, состоящей из бозонов:

${\mathcal{Z}}_i=\underset{n_i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{n}_i({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}},$${\mathcal {Z}}_{i}=\sum _{{n_{i}=0}}^{\infty }e^{{-\beta n_{i}(\varepsilon _{i}-\mu )}}={\frac {1}{1-e^{{-\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}}}},$ 

а для системы, состоящей из фермионов:

${\mathcal{Z}}_i=\underset{n_i=0}{\overset{1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{n}_i({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}=1+e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}.$${\mathcal {Z}}_{i}=\sum _{{n_{i}=0}}^{1}e^{{-\beta n_{i}(\varepsilon _{i}-\mu )}}=1+e^{{-\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}}.$ 

В случае максвелловско-больцмановского газа необходимо корректно подсчитывать состояния и делить больцмановский множитель $e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}$$e^{{-\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}}$  на $n_i!$$n_{i}!$ 

${\mathcal{Z}}_i=\underset{n_i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{n}_i({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}}{n_i!}=\exp <!--\; \; -->\left(e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}\right).$${\mathcal {Z}}_{i}=\sum _{{n_{i}=0}}^{\infty }{\frac {e^{{-\beta n_{i}(\varepsilon _{i}-\mu )}}}{n_{i}!}}=\exp \left(e^{{-\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}}\right).$ 

Связь с термодинамическими величинамиПравить

Так же как и каноническая статистическая сумма, большую каноническую статистическую сумму можно использовать для вычисления термодинамических и статистических величин системы. Как и в каноническом ансамбле, термодинамические величины не фиксированы, а статистически распределены вокруг среднего значения. Обозначая $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\alpha =-\beta \mu$ , получаем средние значения чисел заполнения:

$⟨<!--\; ⟨\; -->n_i⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->{\mathcal{Z}}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},V}=\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->{\mathcal{Z}}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\right)}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},V}.$$\langle n_{i}\rangle =-\left({\frac {\partial \ln {\mathcal {Z}}_{i}}{\partial \alpha }}\right)_{{\beta ,\;V}}={\frac {1}{\beta }}\left({\frac {\partial \ln {\mathcal {Z}}_{i}}{\partial \mu }}\right)_{{\beta ,\;V}}.$ 

Для больцмановских частиц это даёт:

$⟨<!--\; ⟨\; -->n_i⟩<!--\; ⟩\; -->=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}.$$\langle n_{i}\rangle =e^{{-\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}}.$ 

Для бозонов:

$⟨<!--\; ⟨\; -->n_i⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{e^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}-<!--\; -\; -->1}.$$\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}}-1}}.$ 

Для фермионов:

$⟨<!--\; ⟨\; -->n_i⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{e^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}+1},$$\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}}+1}},$ 

что совпадает с результатами, получаемыми с помощью канонического ансамбля для статистики Максвелла — Больцмана, статистики Бозе — Эйнштейна и статистики Ферми — Дирака соответственно. (Степень вырождения $g_i$$g_i$  отсутствует в этих уравнениях, поскольку индекс $i$$i$  нумерует отдельные состояния, а не уровни энергии.)

Общее число частиц

$⟨<!--\; ⟨\; -->N⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->\mathcal{Z}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},V}=\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->\mathcal{Z}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\right)}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},V}.$$\langle N\rangle =-\left({\frac {\partial \ln {\mathcal {Z}}}{\partial \alpha }}\right)_{{\beta ,\;V}}={\frac {1}{\beta }}\left({\frac {\partial \ln {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{{\beta ,\;V}}.$ 

Флуктуация общего числа частиц

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(N)={\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\ln <!--\; \; -->\mathcal{Z}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2}\right)}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},V}.$${\mathrm {var}}\,(N)=\left({\frac {\partial ^{2}\ln {\mathcal {Z}}}{\partial \alpha ^{2}}}\right)_{{\beta ,\;V}}.$ 

Внутренняя энергия

$⟨<!--\; ⟨\; -->E⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->\mathcal{Z}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\right)}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},V}+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}⟨<!--\; ⟨\; -->N⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\langle E\rangle =-\left({\frac {\partial \ln {\mathcal {Z}}}{\partial \beta }}\right)_{{\mu ,\;V}}+\mu \langle N\rangle .$ 

Флуктуация внутренней энергии

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(E)={\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\ln <!--\; \; -->\mathcal{Z}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2}\right)}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},V}.$${\mathrm {var}}\,(E)=\left({\frac {\partial ^{2}\ln {\mathcal {Z}}}{\partial \beta ^{2}}}\right)_{{\mu ,\;V}}.$ 

Давление

$⟨<!--\; ⟨\; -->P⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->\mathcal{Z}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}\right)}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}.$$\langle P\rangle ={\frac {1}{\beta }}\left({\frac {\partial \ln {\mathcal {Z}}}{\partial V}}\right)_{{\mu ,\;\beta }}.$ 

Механическое уравнение состояния

$⟨<!--\; ⟨\; -->PV⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{\ln <!--\; \; -->\mathcal{Z}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}.$$\langle PV\rangle ={\frac {\ln {\mathcal {Z}}}{\beta }}.$ 

ЛитератураПравить

• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.
• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966. (Huang, Kerson, «Statistical Mechanics», John Wiley & Sons, New York, 1967.)
• Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир, 1973. (Isihara A. «Statistical Physics». — New York: Academic Press, 1971.)
• Kelly, James J. Lecture notes.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2005. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). — ISBN 5-9221-0054-8..