Многозначное отображение

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть $X$$X$ и $Y$$Y$ — произвольные множества, а $2^Y$$2^{Y}$ — совокупность всех подмножеств множества $Y.$$Y.$ Многозначным отображением из множества $X$$X$ в $Y$$Y$ называется всякое отображение $F:X\to <!--\; \to \; -->2^Y.$$F:\ X\to 2^{Y}.$ Обычно областью определения многозначного отображения $F$$F$ является подмножество $X\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$X\subset \mathbb {R} ^{n}$, а областью значений — пространство $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(Y)\subset <!--\; \subset \; -->2^Y,$$\Omega (Y)\subset 2^{Y},$ состоящее из непустых компактных подмножеств множества $Y\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^m,$$Y\subset \mathbb {R} ^{m},$ то есть $F:X\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(Y).$$F:X\to \Omega (Y).$

• Пример 1. Пусть $X=Y=\mathbb{R}$$X=Y=\mathbb {R}$. Ставя в соответствие каждому значению $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ отрезок $[-<!--\; -\; -->|x|,|x|],$$[-|x|,\,|x|],$ мы получаем многозначное отображение $F:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(\mathbb{R}).$$F:\mathbb {R} \to \Omega (\mathbb {R} ).$

• Пример 2. Пусть $f:[0,1]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:[0,1]\to \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Положим $X=[minf,+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}]$$X=[\min f,+\infty ]$ и $Y=[0,1].$$Y=[0,1].$ Ставя в соответствие каждому значению $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ множество $M(x)=\{y\in <!--\; \in \; -->[0,1]:f(y)\le <!--\; \le \; -->x\},$$M(x)=\{y\in [0,1]:f(y)\leq x\},$ мы получаем многозначное отображение $F:X\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(Y).$$F:X\to \Omega (Y).$

• Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Связанные определения и свойстваПравить

• Пространство $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}({\mathbb{R}}^m)$$\Omega (\mathbb {R} ^{m})$  является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения.
• Рассматривая для каждого $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$  опорную функцию множества $F(x)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}({\mathbb{R}}^m),$$F(x)\in \Omega (\mathbb {R} ^{m}),$  мы получим вещественнозначную функцию $c(F(x),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})$$c(F(x),\psi )$  от двух аргументов: $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$  и $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\in <!--\; \in \; -->({\mathbb{R}}^n{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\psi \in (\mathbb {R} ^{n})^{*}$ , где звёздочка означает сопряжённое пространство.
• Многозначное отображение $F$$F$  непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция $c(F(x),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})$$c(F(x),\psi )$  непрерывна по переменной $x$$x$  для каждого фиксированного $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ .
• Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция $c(F(x),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})$$c(F(x),\psi )$  измерима по переменной $x$$x$  для каждого фиксированного $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ .
• Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения $F:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}({\mathbb{R}}^m)$$F:\mathbb {R} ^{n}\to \Omega (\mathbb {R} ^{m})$  называется такая функция $f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m,$$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$  что $f(x)\in <!--\; \in \; -->F(x)$$f(x)\in F(x)$  для любого $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n.$$x\in \mathbb {R} ^{n}.$ 
• Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем.
• Многозначное отображение $F:X\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(Y)$$F:X\to \Omega (Y)$  называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке $x_0\in <!--\; \in \; -->X$$x_{0}\in X$ , если для любой окрестности множества $F(x_0)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(Y)$$F(x_{0})\in \Omega (Y)$  (обозначим её $V(F(x_0))$$V(F(x_{0}))$ ) существует такая окрестность точки $x_0\in <!--\; \in \; -->X$$x_{0}\in X$  (обозначим её $U(x_0)$$U(x_{0})$ ), что $F(x)\subset <!--\; \subset \; -->V(F(x_0))$$F(x)\subset V(F(x_{0}))$  для любого $x\in <!--\; \in \; -->U(x_0).$$x\in U(x_{0}).$  Многозначное отображение $F:X\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(Y)$$F:X\to \Omega (Y)$  называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке $x\in <!--\; \in \; -->X.$$x\in X.$  Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху.
• Теорема Какутани: Пусть $X\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$X\subset \mathbb {R} ^{n}$  — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение $F:X\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(X)$$F:X\to \Omega (X)$  имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение $F$$F$  имеет неподвижную точку $x_{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->X,$$x_{*}\in X,$  то есть $x_{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->F(x_{\ast <!--\; \ast \; -->}).$$x_{*}\in F(x_{*}).$  Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.

См. такжеПравить

• Многозначная функция
• Дифференциальное включение

ЛитератураПравить

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980.
• Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.