Дифференциальное включение (математика)

Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения:

$\frac{dx}{dt}\in <!--\; \in \; -->F(t,x),(\ast <!--\; \ast \; -->)$${\frac {dx}{dt}}\in F(t,x),\qquad (*)$

где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных $t\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$t\in \mathbb {R}$ и $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$ непустое компактное множество $F(t,x)$$F(t,x)$ в пространстве ${\mathbb{R}}^n.$$\mathbb{R}^n.$ Решением дифференциального включения (*) обычно называют абсолютно непрерывную функцию $x(t),$$x(t),$ которая удовлетворяет данному включению при почти всех значениях $t.$$t.$ Такое определение решения связано, прежде всего, с приложениями дифференциальных включений в теории управления.

Зарождение теории дифференциальных включений связывают обычно с именами французского математика Маршо (Marchaud) и польского математика Станислава Заремба (работы середины 1930-х годов), однако широкий интерес к ним возник только после открытия принципа максимума Понтрягина и связанным с ним интенсивным развитием теории оптимального управления. Дифференциальные включения используются также как инструмент исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (А. Ф. Филиппов) и в теории дифференциальных игр (Н. Н. Красовский).

Связь дифференциальных включений с управляемыми системамиПравить

Рассмотрим управляемую систему

$\frac{dx}{dt}=f(t,x,u),u(t)\in <!--\; \in \; -->U,(\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->)$${\frac {dx}{dt}}=f(t,x,u),\quad u(t)\in U,\qquad (**)$ 

где $U\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^m$$U\subset \mathbb {R} ^{m}$  есть некоторое компактное подмножество. Систему (**) можно записать в виде дифференциального включения (*), положив $F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u):\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}u\in <!--\; \in \; -->U\}$$F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u)\ :\ \forall u\in U\}$ . При довольно общих предположениях управляемая система (**) эквивалентна дифференциальному включению (*), т.е. для любого решения $x(t)$$x(t)$  включения (*) существует такое допустимое управление $u(t)\in <!--\; \in \; -->U,$$u(t)\in U,$  что функция $x(t)$$x(t)$  будет являться траекторией системы (**) с этим управлением. Это утверждение называется леммой А.Ф. Филиппова.

Связанные понятияПравить

Контингенция (контингентная производная) и паратингенция — обобщения понятия производной, введённые в 1930-х годах.

Контингенцией вектор-функции $x(t)$$x(t)$  в точке $t_0$$t_0$  называется множество $\text{Cont}x(t_0)$${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})$  всех предельных точек последовательностей

$\frac{x(t_i)-<!--\; -\; -->x(t_0)}{t_i-<!--\; -\; -->t_0},t_i\to <!--\; \to \; -->t_0,i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$${\frac {x(t_{i})-x(t_{0})}{t_{i}-t_{0}}},\quad t_{i}\to t_{0},\quad i=1,2,\ldots$ 

Паратингенцией вектор-функции $x(t)$$x(t)$  в точке $t_0$$t_0$  называется множество $\text{Parat}x(t_0)$${\textrm {Parat}}\ x(t_{0})$  всех предельных точек последовательностей

$\frac{x(t_i)-<!--\; -\; -->x(t_j)}{t_i-<!--\; -\; -->t_j},t_i\to <!--\; \to \; -->t_0,t_j\to <!--\; \to \; -->t_0,i,j=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$${\frac {x(t_{i})-x(t_{j})}{t_{i}-t_{j}}},\quad t_{i}\to t_{0},\quad t_{j}\to t_{0},\quad i,j=1,2,\ldots$ 

Контингенция и паратингенция представляют собой примеры многозначных отображений. Например, для функции $x(t)=|t|$$x(t)=|t|$  в точке $t_0=0$$t_{0}=0$  множество $\text{Cont}x(0)$${\textrm {Cont}}\ x(0)$  состоит из двух точек: $\pm <!--\; \pm \; -->1,$$\pm 1,$  а множество $\text{Parat}x(0)$${\textrm {Parat}}\ x(0)$  является отрезком $[-<!--\; -\; -->1,+1].$$[-1,+1].$ 

Вообще, всегда $\text{Cont}\subset <!--\; \subset \; -->\text{Parat}$${\textrm {Cont}}\subset {\textrm {Parat}}$ . Если существует обычная производная $x^{\prime }(t_0),$$x'(t_{0}),$  то $\text{Cont}x(t_0)=x^{\prime }(t_0),$${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})=x'(t_{0}),$  а если обычная производная $x^{\prime }(t)$$x'(t)$  существует в некоторой окрестности точки $t_0$$t_0$  и непрерывна в самой этой точке, то $\text{Cont}x(t_0)=\text{Parat}x(t_0)=x^{\prime }(t_0)$${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})={\textrm {Parat}}\ x(t_{0})=x'(t_{0})$ .

ЛитератураПравить

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах оптимального регулирования. — Вестник МГУ, Матем. и мех., N2 (1959).
• А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
• A. Cellina. A VIEW ON DIFFERENTIAL INCLUSIONS, — Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino - Vol. 63, 3 (2005).