Теорема Дарбу в симплектической геометрии

Теорема Дарбу в симплектической геометрии — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии $M^{2n}$$M^{{2n}}$, у любой точки в $M^{2n}$$M^{{2n}}$ существует открытая окрестность и локальные координаты $q_1,...,q_n,p_1,...,p_n$$q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n}$ в ней, в которых симплектическая форма $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ принимает канонический вид $\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}d{p}_j\wedge <!--\; \wedge \; -->d{q}_j$$\sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j}$.

Гастон Дарбу

ФормулировкаПравить

Пусть $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — симплектическая структура на $M^{2n}$$M^{{2n}}$ . Тогда для любой точки $x\in <!--\; \in \; -->M^{2n}$$x\in M^{2n}$  всегда существует окрестность с такими локальными регулярными координатами $q_1,...,q_n,p_1,...,p_n$$q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n}$ , в которых форма $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  записывается в простейшем каноническом виде, а именно:

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}d{p}_i\wedge <!--\; \wedge \; -->d{q}_i$$\omega =\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}$ ,

то есть в каждой точке этой окрестности матрица $\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{ij}\right)$$\left(\omega _{ij}\right)$  принимает блочный вид

${\begin{pmatrix}\mathbb {0} &\mathbb {E} \\-\mathbb {E} &\mathbb {0} \end{pmatrix}}$ ,

где $\mathbb{0}$$\mathbb {0}$  и $\mathbb{E}$${\mathbb {E}}$  — соответственно нулевая и единичная $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ -матрицы. Совокупность $2n$$2\,n$  координат $(q,p)$$(q,\,p)$  называют каноническими координатами, или координатами Дарбу, а наборы из $n$$n$  координат $q$$q$  и $p$$p$  — канонически сопряжёнными друг другу.

ДоказательствоПравить

 

Юрген Мозер (справа)

В современном доказательстве теоремы Дарбу используется так называемый трюк Мозера. Особенно нагляден он на замкнутых симплектических многообразиях. Именно, пусть ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{0},\omega _{1}$  — две симплектические формы на многообразии $X$$X$ , принадлежащие одному классу когомологий де Рама. Тогда (например, рассматривая их линейные комбинации: конус невырожденных форм выпуклый) их можно связать однопараметрическим семейством симплектических форм ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t$$\omega _{t}$ , $t\in <!--\; \in \; -->[0;1]$$t\in [0;1]$  таких, что класс когомологий их один и тот же. Стало быть, по определению когомологий де Рама, имеем право написать $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=d{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_t$${\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}=d\eta _{t}$ , где ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_t$$\eta _{t}$  — некоторая 1-форма. Пусть $v_t$$v_{t}$  — векторное поле такое, что ${\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}_{v_t}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t={\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_t$$\iota _{v_{t}}\omega _{t}=\eta _{t}$  (такое существует в силу невырожденности всех форм ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t$$\omega _{t}$ ).

Скомпонуем эти два семейства, а именно векторных полей и 2-форм, в единое векторное поле $V$$V$ , определённое на многообразии с краем $X\times <!--\; \times \; -->[0;1]$$X\times [0;1]$  как $V_{(x,t)}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}-<!--\; -\; -->(v_t{)}_x$$V_{(x,t)}={\frac {\partial }{\partial t}}-(v_{t})_{x}$ , и единую 2-форму $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , ограничивающуюся на всякое подмногообразие $X_t=X\times <!--\; \times \; -->\{t\}$$X_{t}=X\times \{t\}$  как ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t$$\omega _{t}$  (мы неявно отождествляем $X_t$$X_{t}$  с $X$$X$  путём забывания временной координаты, и без того постоянной на $X_t$$X_{t}$ ) и зануляющуюся при подстановке в неё векторного поля $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$${\frac {\partial }{\partial t}}$ . Заметим, что форма $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  вообще говоря не замкнута как форма на $X\times <!--\; \times \; -->[0;1]$$X\times [0;1]$ : выписывая явную формулу для дифференциала де Рама, легко видеть равенство ${\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}_{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$$\iota _{\frac {\partial }{\partial t}}d\Omega ={\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}$  (им, вкупе с тождественным занулением вдоль подмногообразий $X_t$$X_{t}$ , 3-форма $d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$d\Omega$  определяется однозначно).

Итак, применим формулу Картана: ${\left({\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}}_V\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\right)}_t={\left(d{\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}_V\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}+{\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}_{V}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\right)}_t=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}-<!--\; -\; -->d{\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}_{v_t}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_t=d{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_t-<!--\; -\; -->d{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_t=0$$\left(\mathrm {Lie} _{V}\Omega \right)_{t}=\left(d\iota _{V}\Omega +\iota _{V}d\Omega \right)_{t}={\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}-d\iota _{v_{t}}\omega _{t}=d\eta _{t}-d\eta _{t}=0$ . Следовательно, поток векторного поля $V$$V$  сохраняет форму $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ . В то же время, его поток переводит подмногообразия $X_t$$X_{t}$  друг в друга. Следовательно, определяемое им отображение Коши $X_0\to <!--\; \to \; -->X_1$$X_{0}\to X_{1}$ , сопоставляющее начальной точки интегральной кривой её конечную точку, переводит ограничение формы $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  в ограничение формы $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , то есть определяет диффеоморфизм $X$$X$ , переводящий ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$\omega_0$  в ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$ .

В частности, когда многообразие $X$$X$  двумерно, симплектическая форма есть то же самое, что форма площади, так что соответствующий класс когомологий определяется единственным числом — своим интегралом по фундаментальному циклу, иначе говоря, площадь поверхности. Таким образом, класс симплектоморфизма симплектической поверхности определяется однозначно её родом и площадью. Этот факт был известен, кажется, ещё Пуанкаре.

Доказательство для открытой области (то есть оригинального утверждения теоремы Дарбу) несколько более муторно, хотя и не требует иных существенных идей, и есть в книге.

Вариации и обобщенияПравить

 

Алан Вайнштейн (ок. 1985)

Вариант теоремы Дарбу для лагранжевых подмногообразий принадлежит Вайнштейну. Именно, на тотальном пространстве кокасательного расслоения ко всякому многообразию имеется каноническая симплектическая структура. С другой стороны, если $(X,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$(X,\omega )$  — симплектическое многообразие, и $Y\subset <!--\; \subset \; -->X$$Y\subset X$  — лагранжево подмногообразие (то есть подмногообразие половинной размерности такое, что $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{|}_Y\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$\omega |_{Y}\equiv 0$ ), то имеется изоморфизм касательного и конормального расслоений к $Y$$Y$ : касательный вектор $v$$v$  отправляется в функционал ${\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}_v\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\iota _{v}\omega$ , зануляющийся на $TY$$TY$  и потому определённый на нормальном пространстве $TX/TY$$TX/TY$ ; в силу невырожденности формы $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  так получается всякий функционал на нормальном пространстве. Дуализируя, можно воспринимать это отображение как отображение из кокасательного расслоения в нормальное. Теорема Дарбу — Вайнштейна утверждает, что это отображение может быть проинтегрировано до настоящего отображения $U\to <!--\; \to \; -->X$$U\to X$ , где $U$$U$  — некоторая трубчатая окрестность нулевого сечения кокасательного расслоения $T^{\ast <!--\; \ast \; -->}Y$$T^{*}Y$ , притом такого, что на $Y$$Y$  оно постоянно, а симплектическую форму на $U\subset <!--\; \subset \; -->T^{\ast <!--\; \ast \; -->}Y$$U\subset T^{*}Y$  переводит в симплектическую форму на $X$$X$ . В частности, графики замкнутых 1-форм будут при таком отображении переходить в лагранжевы подмногообразия в $X$$X$ , близкие к $Y$$Y$ .

Нечётномерный аналог теоремы Дарбу для контактных многообразий приндалежит Грею.

В сущности, теорема Дарбу означает, что никаких локальных инвариантов у симплектическим многообразий нет, что при их изучении смещает фокус в сторону топологии. Некоторым сходством обладают комплексные структуры: для всякого оператора почти комплексной структуры $I:<!--\; :\; -->TX\to <!--\; \to \; -->TX$$I\colon TX\to TX$  (то есть такого, что $I^2=-<!--\; -\; -->{\mathrm{I}\mathrm{d}}_{TX}$$I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ ), удовлетворяющего условию интегрируемости (то есть тому, что мнимые векторные поля, собственные с собственным числом $\sqrt{-<!--\; -\; -->1}$${\sqrt {-1}}$  для оператора $I$$I$ , при коммутировании дают поле, также являющимся собственным для $I$$I$  с собственным числом $\sqrt{-<!--\; -\; -->1}$${\sqrt {-1}}$ ), существует комплексная карта, то есть локальное голоморфное отображение в область в ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb {C} ^{n}$ . Это утверждение составляет теорему Ньюлендера — Ниренберга, доказательство которой существенно более сложно. Пример ситуации, когда теорема Дарбу неверна, дают римановы многообразия: для локальной изометрии две метрики должны иметь одинаковые тензоры римановой кривизны. Вместе с тем, римановы метрики проще в том смысле, что для них условие «интегрируемости» (аналогичное вышеприведённому условию для почти комплексной структуры или условию $d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0$$d\omega =0$  для невырожденной 2-формы) всегда автоматически выполнено: для почти симплектической и почти комплексной структуры условие интегрируемости равносильно существованию линейной связности без кручения, относительно которой эти тензоры параллельны, в то время как для римановой метрики такая связность существует и притом единственна.

 

Эллиптические расслоения на K3-поверхностях впервые были систематически изучены Лефшецем

Для голоморфно симплектических многообразий аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна также не может существовать, притом по существенным причинам. Например, рассмотрим K3-поверхность $X$$X$  с неизотривиальным эллиптическим расслоением (то есть расслоением, общий слой которого гладок, и в окрестности всякого неособого слоя все слои — попарно неизоморфные эллиптические кривые), и $E$$E$  — один из слоёв этого расслоения. Голоморфное кокасательное расслоение к эллиптической кривой тривиально, и графики замкнутых 1-форм, то есть его постоянных сечений, являются эллиптическими кривыми, биголоморфными данной. С другой стороны, как было замечено Хитчиным, голоморфно симплектическая форма, если на неё смотреть как на 2-форму с комплексными коэффициентами, позволяет восстановить комплексную структуру на многообразии однозначно. Если бы существовало отображение $U\to <!--\; \to \; -->X$$U\to X$ , где $U\subset <!--\; \subset \; -->T^{\ast <!--\; \ast \; -->}E$$U\subset T^{*}E$  — окрестность нулевого сечения, которое переводит голоморфно симплектическую форму на $T^{\ast <!--\; \ast \; -->}E$$T^{*}E$  в голоморфно симплектическую форму на $X$$X$ , то оно было бы само голоморфным, и переводило близкие к $E\subset <!--\; \subset \; -->U$$E\subset U$  кривые в близкие к $E\subset <!--\; \subset \; -->X$$E\subset X$  кривые, притом биголоморфные $E$$E$ . Но из формулы присоединения видно, что все деформации эллиптической кривой на K3-поверхности образуют однопараметрическое семейство, и принадлежат к одному и тому же эллиптическому расслоению. Стало быть, если расслоение не изотривиально, то такого отображения не может существовать. Для голоморфных $\mathbb{C}{\mathbf{P}}^n$$\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$  в голоморфно симплектических многообразиях (например, рациональных кривых на K3-поверхностях) аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна всё же имеется, но в его доказательстве ключевыми являются не геометрические соображения типа трюка Мозера, а теория особенностей или даже теория представлений: так, при сдутии рациональной кривой на К3-поверхности образуется особенность типа A₁, она же фактор ${\mathbb{C}}^2/\{\pm <!--\; \pm \; -->1\}$$\mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}$ , она же особенность у нильпотентного конуса алгебры Ли $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ; а все такие особенности эквивалентны с точностью до аналитического изоморфизма, что даёт изоморфизм для окрестности кривой перед сдутием. Для кривых же большего рода верно в точности противоположное: знание сколь угодно малой окрестности кривой позволяет восстановить поверхность (или, по крайней мере, поле мероморфных функций на ней) однозначно. В принципе, измерять то, насколько окрестность комплексного подмногообразия не допускает изоморфизма с окрестностью нулевого сечения своего нормального расслоения, можно было бы измерять при помощи инварианта, похожего на класс Уэды; но он имеется только для подмногообразий коразмерности один, то есть, если речь идёт о лагранжевых подмногообразиях, кривых на поверхностях. В случае эллиптических кривых на комплексных поверхностях, нормальное расслоение к которым топологически тривиально, критерий наличия локального биголоморфизма с кокасательным расслоением даётся так называемой теоремой Арнольда о малых знаменателях: если $L$$L$  — нормальное расслоение эллиптической кривой $E$$E$ , лежащей на комплексной поверхности $X$$X$ , то $X$$X$  вдоль $E$$E$  локально биголоморфна окрестности нулевого сечения $L$$L$  в том и только том случае, если для любой инвариантной метрики $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  на группе Пикара $\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(E)$$\mathrm {Pic} (E)$  функция $-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathcal{O}}_E,L^{\otimes <!--\; \otimes \; -->n})$$-\ln \rho ({\cal {O}}_{E},L^{\otimes n})$  имеет асимптотику $O(\ln <!--\; \; -->n)$$O(\ln n)$  (такое же условие на рост знаменателей подходящих дробей к числу является необходимым для того, чтобы это число могло быть алгебраическим, откуда и название теоремы; любопытно, что нарушение схожего условия на отношение периодов обращения небесных тел делает обращение по некоторым орбитам маловероятным, что порождает щели Кирквуда и деление Кассини, см. подробнее в статье «Орбитальный резонанс»). Вместе с тем, в больших размерностях эта наука далека от полного завершения: так, гипотеза Мацушиты, утверждающая, что лагранжево расслоение на гиперкэлеровом многообразии либо изотривиально, либо его слои (которые всегда являются абелевыми многообразиями — это нетрудная теорема) составляют семейство полной размерности в пространстве модулей абелевых многообразий, до сих пор не доказана (хотя в 2015 году существенное продвижение в данном вопросе было получено ван Геменом и Вуазен).

То, что надежды на существование теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий нету, можно показать иначе. Именно, на окрестности нулевого сечения имеется голоморфное действие группы $\mathrm{U}(1)$$\mathrm {U} (1)$ , которое умножает кокасательные вектора на комплексные числа, равные по модулю единице. В вышеприведённом примере неизотривиальной эллиптической К3-поверхности такое локальное действие невозможно, потому что все его слои в любой окрестности попарно не биголоморфны. В некотором смысле, это соображение есть единственное препятствие к существованию аналога теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий. Во всяком случае, следующая теорема содержится в мемуаре Каледина, представленном им в Триесте в 1994 году:

Пусть $X$$X$  — голоморфно симплектическое многообразие, снабжённое регулярным голоморфным действием группы $\mathrm{U}(1)$$\mathrm {U} (1)$  таким, что элемент $z\in <!--\; \in \; -->\mathrm{U}(1)$$z\in \mathrm {U} (1)$  умножает голоморфно симплектическую форму на число $z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$z\in \mathbb {C}$ . Тогда существует открытая окрестность $U\subset <!--\; \subset \; -->X$$U\subset X$  множества неподвижных точек этого действия $Y=X^{\mathrm{U}(1)}\subset <!--\; \subset \; -->X$$Y=X^{\mathrm {U} (1)}\subset X$  и каноническое отображение $U\to <!--\; \to \; -->T^{\ast <!--\; \ast \; -->}Y$$U\to T^{*}Y$  такое, что гиперкэлерова метрика на $U$$U$  индуцируется посредством этого отображения с канонической гиперкэлеровой структуры на $T^{\ast <!--\; \ast \; -->}Y$$T^{*}Y$ .

Им же доказана версия этого утверждения для более общих гиперкомплексных многообразий.

ЛитератураПравить

• Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: МГУ, 1988. — 413 с. — ISBN 5-211-00083-8.