Связность Леви-Чивиты

Свя́зность Леви-Чиви́ты (или связность, ассоциированная с метрикой) — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования, а также параллельного перенесения вдоль кривых. Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

ОпределениеПравить

Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии $M$$M$ , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  на римановом многообразии $(M,g)$$(M,\;g)$  называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей $X$$X$ , $Y$$Y$ , $Z$$Z$  верно
        $X(g(Y,Z))=g({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{X}Z)$$X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)$ ,
   где $X(g(Y,Z))$$X(g(Y,\;Z))$  обозначает производную $g(Y,Z)$$g(Y,Z)$  в направлении $X$$X$ .
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей $X$$X$  и $Y$$Y$ 
        ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{X}Y-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{Y}X-<!--\; -\; -->[X,Y]=0$$\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0$ ,
   где $[X,Y]$$[X,\;Y]$  — скобки Ли векторных полей $X$$X$  и $Y$$Y$ .

СвойстваПравить

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. такжеПравить

• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля

ЛитератураПравить

• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.