Контактная структура

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности $M^{2n+1}$$M^{{2n+1}}$, состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

ОпределениеПравить

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , что

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\wedge <!--\; \wedge \; -->(d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{)}^n\ne <!--\; \ne \; -->0$$\lambda \wedge (d\lambda )^{n}\neq 0$ 

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле $Y$$Y$  на $M^{2n+1}$$M^{{2n+1}}$  такое, что

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(Y)=1$$\lambda (Y)=1$ 

$d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(Y,X)=0$$d\lambda (Y,X)=0$ 

для любого векторного поля $X$$X$ .

СвойстваПравить

• Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
• На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.

• С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией.
  • Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщенияПравить

Почти контактная структура

Пусть $M^{2n+1}$$M^{{2n+1}}$  — нечётномерное гладкое многообразие $\dim <!--\; \; -->M=2n+1$$\dim M=2n+1$ .

Почти контактной структурой на многообразии $M$$M$  называется тройка $(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->})$$(\eta ,\xi ,\Phi )$  тензорных полей на этом многообразии, где $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\eta$  — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  — векторное поле, называемое характеристическим, $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  — эндоморфизм $TM$$TM$ , называемый структурным эндоморфизмом. При этом

1. $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=1$$\eta (\xi )=1$ 
2. $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=0$$\eta \circ \Phi =0$ 
3. $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=0$$\Phi (\xi )=0$ 
4. ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^2=-<!--\; -\; -->id+\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\Phi ^{2}=-id+\eta \otimes \xi$ 

Если, кроме того, на $M$$M$  фиксирована риманова структура $g=⟨<!--\; ⟨\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$g=\langle \cdot ,\cdot \rangle$ , такая что

$⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}X,\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}Y⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->X,Y⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(X)\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(Y)$$\langle \Phi X,\Phi Y\rangle =\langle X,Y\rangle -\eta (X)\eta (Y)$ 

четвёрка $(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->},g)$$(\eta ,\xi ,\Phi ,g)$  называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.