Теорема Витта

Не следует путать с теоремой Виета.

Теорема Витта — теорема о свойствах конечномерных ортогональных пространств над полями произвольного вида. Она утверждает, что любая изометрия между двумя подпространствами конечномерного ортогонального векторного пространства может быть продолжена на все пространство.

ФормулировкаПравить

Пусть $L$$L$  — невырожденное конечномерное ортогональное векторное пространство (пространство с невырожденной симметричной или кососимметричной билинейной формой), $L^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}},L^{″}\subset <!--\; \subset \; -->L$$L^{\prime}, L'' \subset L$  — два его изометричных подпространства. Тогда любая изометрия $I^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}:L^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\to <!--\; \to \; -->L^{″}$$I^{\prime}: L^{\prime} \rightarrow L''$  может быть продолжена до изометрии $I:L\to <!--\; \to \; -->L$$I: L \rightarrow L$ ; то есть, сужение $I$$I$  на $L^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$$L^{\prime }$  совпадает с $I^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$$I^{\prime }$ .

СледствияПравить

• Теорема о сокращении: Предположим $h$$h$  не вырожденная квадратичная форма и форма $h\oplus <!--\; \oplus \; -->g_1$$h\oplus g_{1}$  эквивалентна форме $h\oplus <!--\; \oplus \; -->g_2$$h\oplus g_{2}$  над полем характеристики не равной 2. Тогда форма $g_1$$g_{1}$  эквивалентна форме $g_2$$g_{2}$  над этим полем.

ЛитератураПравить

• Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
• А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. — Санкт-Петербург: Лань, 2008. — С. 304. — ISBN 978-5-8114-0612-8.