Формулы Виета

Эта статья — о формулах, связывающих коэффициенты многочлена и его корни. О формуле представления числа π см. Формула Виета для приближения числа π.

Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.

ФормулировкаПравить

Если $c_1,c_2,\dots <!--\; \dots \; -->,c_n$$c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$  — корни многочлена

$x^n+a_1{x}^{n-<!--\; -\; -->1}+a_2{x}^{n-<!--\; -\; -->2}+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n$$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}$ 

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_{1},\ldots ,a_{n}$  выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

${\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_{3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),\\&~~\vdots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}$ 

Иначе говоря, $(-<!--\; -\; -->1{)}^k{a}_k$$(-1)^{k}a_{k}$  равно сумме всех возможных произведений из $k$$k$  корней.

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.

Если старший коэффициент многочлена не равен единице:

$a_0{x}^n+a_1{x}^{n-<!--\; -\; -->1}+a_2{x}^{n-<!--\; -\; -->2}+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n,$$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},$ 

то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_0$$a_{0}$  (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:

${\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\dots c_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.$ 

ДоказательствоПравить

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что $a_0=1$$a_{0}=1$ 

$x^n+a_1{x}^{n-<!--\; -\; -->1}+a_2{x}^{n-<!--\; -\; -->2}+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n=(x-<!--\; -\; -->c_1)(x-<!--\; -\; -->c_2)\cdots <!--\; \cdots \; -->(x-<!--\; -\; -->c_n).$$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).$ 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$$x$  (теорема единственности), получаем формулы Виета.

ПримерыПравить

Квадратное уравнениеПравить

Если $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$  — корни квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$$ax^{2}+bx+c=0$ , то

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-<!--\; -\; -->\frac{b}{a},\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}.\end{array}$${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a}}.\end{cases}}$ 

В частном случае, если $a=1$$a=1$  (приведённая форма $x^2+px+q=0$$x^{2}+px+q=0$ ), то

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-<!--\; -\; -->p,\\ x_1{x}_2=q.\end{array}$${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases}}$ 

Кубическое уравнениеПравить

Если $x_1,x_2,x_3$$x_{1},x_{2},x_{3}$  — корни кубического уравнения $p(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ , то

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=-<!--\; -\; -->\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}\\ x_1{x}_2{x}_3=-<!--\; -\; -->\frac{d}{a}\end{array}$${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}\end{cases}}$ 

Вариации и обобщенияПравить

Из приведённого выше доказательства видно, что формулы Виета получаются чисто алгебраически из свойств сложения и умножения. Поэтому они применимы к многочленам с коэффициентами из произвольной области целостности $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$ , если старший коэффициент многочлена равен единице $\mathbb{K},$$\mathbb {K} ,$  а корни располагаются в алгебраическом замыкании поля частных для $\mathbb{K}.$$\mathbb {K} .$ 

Если коэффициенты многочлена берутся из произвольного коммутативного кольца, не являющегося областью целостности (то есть имеющего делители нуля), то формулы Виета, вообще говоря, не выполняются. Например, рассмотрим в качестве $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$  кольцо вычетов по модулю 8 и многочлен $P(x)=x^2-<!--\; -\; -->1.$$P(x)=x^{2}-1.$  Он имеет в этом кольце не два, а четыре корня: $1,3,5,7.$$1,3,5,7.$  Поэтому использованное в доказательстве разложение на линейные множители, число которых равно числу корней, не имеет места, и формулы Виета, как легко проверить, неверны.

См. такжеПравить

• Основная теорема алгебры
• Теорема Безу
• Тождества Ньютона
• Прыжки Виета

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III—IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1980.
• Weisstein, Eric W. Vieta’s Formulas / From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Viète theorem» (недоступная ссылка), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)
• Funkhouser, H. Gray (1930), «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357—365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 (англ.)