Субдифференциал

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

ОпределениеПравить

Субдифференциалом $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_0)$$\partial f(x_{0})$  выпуклой функции $f:<!--\; :\; -->E\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon E\rightarrow \mathbb {R}$  в точке $x_0$$x_{0}$  называется множество, состоящее из всех линейных функционалов $p\in <!--\; \in \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$p\in E^{*}$ , удовлетворяющих для всех $x\in <!--\; \in \; -->E$$x\in E$  неравенству

$p(x-<!--\; -\; -->x_0)\le <!--\; \le \; -->f(x)-<!--\; -\; -->f(x_0)$$p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})$ .

Функция $f(x)$$f(x)$  называется субдифференцируемой в точке $x_0$$x_{0}$ , если множество $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_0)$$\partial f(x_{0})$  непусто.

Вектор $p\in <!--\; \in \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$p\in E^{*}$ , принадлежащий субдифференциалу $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_0)$$\partial f(x_{0})$ , называется субградиентом функции $f(x)$$f(x)$  в точке $x_0$$x_0$ .

СвойстваПравить

• $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_0)$$\partial f(x_{0})$  — выпуклое (возможно пустое) множество в $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$ 

Пусть f₁(x), f₂(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0$$\lambda \geq 0$ , тогда

• $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\left(f_1(x)+f_2(x)\right)=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\left(f_1(x)\right)+\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\left(f_2(x)\right)$$\partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{2}(x)\right)$ , сумма понимается в смысле суммы Минковского.

• $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\left(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{f}_1(x)\right)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_1(x)$$\partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)$ 

• Если функция $f:E\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:E\rightarrow \mathbb {R}$  выпукла и непрерывна в точке $x\in <!--\; \in \; -->E$$x\in E$ , то она субдифференцируема в этой точке $x\in <!--\; \in \; -->E$$x\in E$ , то есть $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x)\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\partial f(x)\neq \varnothing$ , и её субдифференциал $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x)$$\partial f(x)$  является множеством компактным и выпуклым

• Пусть функция $f:E\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:E\rightarrow \mathbb {R}$  выпукла и конечна. В этом случае функция $f(x)$$f(x)$  дифференцируема по Гато в точке $x_0\in <!--\; \in \; -->E$$x_{0}\in E$  тогда и только тогда, когда её субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_0)=\left\{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_0)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right\}$$\partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x}}\right\}$ 

• Функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

• Если последовательность выпуклых функций $f_n$$f_n$  сходится поточечно к выпуклой функции $f$$f$ , то для любой сходящейся последовательности $p_n\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{x_0}{f}_n$$p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}$  её предел $p=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{p}_n$$p=\lim _{n\to \infty }p_{n}$  принадлежит субдифференциалу ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{x_0}f$$\partial _{x_{0}}f$ .

Субдифференциал функции на одномерном интервалеПравить

ПримерПравить

 

Выпуклая функция (синяя) и "подкасательные" к её графику в точке $x_0$$x_{0}$  (красные).

Пусть $f:I\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:I\to \mathbb {R}$  — вещественнозначная выпуклая функция, определённая на принадлежащем прямой открытом интервале. Такая функция может быть дифференцируема не во всех точках. Например, функция $f(x)=|x|$$f(x)=|x|$  недифференцируема при $x=0$$x=0$ . Однако, как это можно видеть на графике, расположенном справа , для всякого $x_0$$x_{0}$  из области определения через точку $(x_0,f(x_0))$$(x_{0},f(x_{0}))$  может быть проведена прямая, которая либо касается графика функции $f(x)$$f(x)$ , либо располагается под этим графиком. Допустимые наклоны таких прямых образуют то, что именуется субдифференциалом.

ОпределениеПравить

Субпроизводная выпуклой функции $f:I\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:I\to \mathbb {R}$  в точке $x_0$$x_{0}$  на открытом интервале $I$$I$  — это вещественное число $c$$c$ , такое, что

$$f(x)-<!--\; -\; -->f(x_0)\ge <!--\; \ge \; -->c(x-<!--\; -\; -->x_0)$$

 

для всех $x\in <!--\; \in \; -->I$$x\in I$ . По теореме, обратной теореме о среднем значении, для выпуклой функции множество субпроизводных в точке $x_0$$x_{0}$  — непустой замкнутый промежуток $[a,b]$$[a,b]$ , где $a$$a$  и $b$$b$  — односторонние пределы

$$a=\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0^{-<!--\; -\; -->}}{lim}\frac{f(x)-<!--\; -\; -->f(x_0)}{x-<!--\; -\; -->x_0},$$

 

$$b=\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)-<!--\; -\; -->f(x_0)}{x-<!--\; -\; -->x_0}.$$

 

Множество $[a,b]$$[a,b]$  всех субпроизводных называют субдифференциалом функции $f$$f$  в точке $x_0$$x_{0}$ . Субдифференциал обозначают $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_0)$$\partial f(x_{0})$ . Если функция $f$$f$  выпукла, то её субдифференциал в любой точке не пуст. Более того, если её субдифференциал в точке $x_0$$x_{0}$  содержит ровно одну субпроизводную,, то $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x_0)=\{f^{\prime }(x_0)\}$$\partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}$  и функция $f$$f$  дифференцируема в точке $x_0$$x_{0}$ .

СсылкиПравить

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.