Сумма Минковского

Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V (или произвольной группы) называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B:

Сумма Минковского синей и зелёной фигуры равна красной фигуре

$C=\left\{c\mid <!--\; \mid \; -->c=a+b,a\in <!--\; \in \; -->A,b\in <!--\; \in \; -->B\right\}$$C = \left\{\,c \mid c=a+b, a\in A, b\in B\,\right\}$

Аналогично определяется произведение множества на число:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}A=\left\{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}a\mid <!--\; \mid \; -->a\in <!--\; \in \; -->A\right\}$$\lambda A = \left\{\,\lambda a \mid a\in A\,\right\}$

СвойстваПравить

• Если множество A выпукло, то

  $(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})A=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}A+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}A$$(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$ 

для любых $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$  и $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>0$$\mu >0$ .

• $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(A+B)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}A+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}B$$\lambda (A+B)= \lambda A + \lambda B$ 
• $A+B=B+A$$A + B = B + A$ 
• $A+\left\{0\right\}=A$$A + \left\{0\right\} = A$ 

О разности МинковскогоПравить

Множества с введенной на них суммой Минковского не образуют линейного пространства (даже выпуклые). Это связано с отсутствием обратного элемента (элемент -A, очевидно, таковым не является).

• Разностью Минковского множеств A и B называется максимальное множество C такое, что

  $C+B\subset <!--\; \subset \; -->A$$C + B \subset A$ ,

но легко видеть, что для многих множеств (например, квадрата и круга) разность Минковского не является операцией, обратной к сумме.

• Альтернативно можно продолжить сумму Минковского на линейное пространство пар выпуклых множеств (A,B) с отношением эквивалентности

  $(A,B)\sim <!--\; \sim \; -->(C,D)\iff <!--\; \iff \; -->A+D=B+C$$(A, B) \sim (C, D) \Leftrightarrow A + D = B + C$ 

Разность Минковского также называют геометрической разностью множеств.

Вариации и обобщенияПравить

• Множество сумм — аналогичное определение для подмножеств групп в аддитивной и арифметической комбинаторике. Наравне с суммами рассматривается произведения множеств $A\times <!--\; \times \; -->B=\left\{ab:a\in <!--\; \in \; -->A,b\in <!--\; \in \; -->B\right\}$$A\times B=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$  и другие операции.

ЛитератураПравить

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.