Сравнение топологий

Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.

ОпределениеПравить

Пусть ${\mathcal{T}}_1$$\mathcal T_1$  и ${\mathcal{T}}_2$$\mathcal T_2$  — две топологии на множестве $X,$$X,$  такие что ${\mathcal{T}}_1$$\mathcal T_1$  содержится в ${\mathcal{T}}_2:$$\mathcal T_2:$ 

${\mathcal{T}}_1\subseteq <!--\; \subseteq \; -->{\mathcal{T}}_2.$$\mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2.$ 

Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология ${\mathcal{T}}_1$$\mathcal T_1$  называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей), чем ${\mathcal{T}}_2.$$\mathcal T_2.$  Соответственно, топология ${\mathcal{T}}_2$$\mathcal T_2$  называется более тонкой (более сильной, большей). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.

Бинарное отношение $\subseteq <!--\; \subseteq \; -->$$\subseteq$  задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества $X.$$X.$ 

ПримерыПравить

Наиболее тонкая топология на $X$$X$  — дискретная топология, в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.

Наиболее грубая топология на $X,$$X,$  относительно которой $X$$X$  удовлетворяет аксиоме отделимости T₁, называется T₁-топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества, а также всё $X.$$X.$ 

СвойстваПравить

Пусть ${\mathcal{T}}_1$$\mathcal T_1$  и ${\mathcal{T}}_2$$\mathcal T_2$  — две топологии на множестве $X.$$X.$  Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• ${\mathcal{T}}_1\subseteq <!--\; \subseteq \; -->{\mathcal{T}}_2$$\mathcal T_1\subseteq \mathcal T_2$ 
• Тождественное отображение ${\text{id}}_X:(X,{\mathcal{T}}_2)\to <!--\; \to \; -->(X,{\mathcal{T}}_1)$$\text{id}_X: (X,\mathcal T_2)\to (X,\mathcal T_1)$  непрерывно.
• Тождественное отображение ${\text{id}}_X:(X,{\mathcal{T}}_1)\to <!--\; \to \; -->(X,{\mathcal{T}}_2)$$\text{id}_X: (X,\mathcal T_1)\to (X,\mathcal T_2)$  является открытым отображением (или, эквивалентно, замкнутым отображением).

Также из определений немедленно следуют данные утверждения:

• Непрерывное отображение $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  останется непрывным, если топологию на $Y$$Y$  заменить на более грубую (соответственно, топологию на $X$$X$  — на более тонкую).
• Открытое отображение $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  останется открытым, если топологию на $Y$$Y$  заменить на более тонкую (соответственно, топологию на $X$$X$  — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.

Решётка топологийПравить

Множество топологий на $X$$X$  образует полную решётку относительно отношения $\subseteq <!--\; \subseteq \; -->.$$\subseteq.$  Это значит, что произвольное семейство топологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой.

Любая полная решётка является также ограниченной, в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.