Спинорное расслоение

В дифференциальной геометрии, спинорное расслоение — локально тривиальное расслоение специального вида над (псевдо)римановым многообразием. Сечение спинорного расслоения, называемое спинорным полем, моделирует в физике фермионное поле в произвольном пространстве.

ОпределениеПравить

Данное ниже определение обобщается естественным образом на случай псевдориманова многообразия произвольной сигнатуры. Пусть $(M,g)$$(M,g)$  — ориентируемое риманово многообразие, $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:{\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{O}}(M)\to <!--\; \to \; -->M$$\pi :\mathrm {F} _{\mathrm {SO} }(M)\to M$  — расслоение ортонормированных реперов, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(n)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{SO}<!--\; \; -->(n)$$\rho :\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)$  — двулистное накрытие. Спинорной структурой называют пару $({\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}(M),\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$(\mathrm {F} _{\mathrm {Spin} }(M),\varphi )$ , где ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_s:{\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}(M)\to <!--\; \to \; -->M$$\pi _{s}:\mathrm {F} _{\mathrm {Spin} }(M)\to M$  — $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$$\mathrm {Spin} (n)$ -главное расслоение над $M$$M$ , $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:{\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{O}}$$\varphi :\mathrm {F} _{\mathrm {Spin} }\to \mathrm {F} _{\mathrm {SO} }$  — эквивариантное двулистное накрытие такое, что

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_s,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(pq)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(p)\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(q)$$\pi \circ \phi =\pi _{s},\qquad \phi (pq)=\phi (p)\rho (q)\quad$  для всех $p\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{F}}_{\mathrm{Spin}}$$p\in \mathrm {F} _{\operatorname {Spin} }$  и $q\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(n)$$q\in \operatorname {Spin} (n)$ .

Расслоение допускает спинорную структуру тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля — Уитни w₂(M) ∈ H²(M, Z₂) обращается в ноль.

Пусть на $(M,g)$$(M,g)$  задана спинорная структура, тогда спинорным расслоением называют ассоциированное c ${\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}(M)$$\mathrm {F} _{\mathrm {Spin} }(M)$  расслоение с типичным слоем $V={\mathbb{C}}^n$$V=\mathbb {C} ^{n}$  с заданным спинорным представлением $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$$\mathrm {Spin} (n)\to \mathrm {GL} (V)$ . Его сечения называют спинорными полями.

См. такжеПравить

• Спинор
• Спинорная группа
• Локально тривиальное расслоение
• Фермионное поле

ЛитератураПравить

• Lawson, H. Blaine. Spin Geometry / H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. — Princeton University Press, 1989. — ISBN 978-0-691-08542-5.
• Friedrich, Thomas. Dirac Operators in Riemannian Geometry. — American Mathematical Society, 2000. — ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Karoubi, Max. K-Theory. — Springer, 2008. — P. 212–214. — ISBN 978-3-540-79889-7.
• Greub, Werner. On the lifting of structure groups // Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics II / Werner Greub, Herbert-Rainer Petry. — Springer-Verlag, 2006. — Vol. 676. — P. 217–246. — ISBN 9783540357216. — doi:10.1007/BFb0063673.
• Scorpan, Alexandru. 4.5 Notes Spin structures, the structure group definition; Equivalence of the definitions of // The wild world of 4-manifolds. — American Mathematical Society, 2005. — P. 174–189. — ISBN 9780821837498.