Снарк Блануши

Снарки Блануши
Снарки Блануши
Назван в честь	Данило Блануши
Вершин	18 (оба)
Рёбер	27 (оба)
Диаметр	4 (оба)
Обхват	5 (оба)
Автоморфизмы	8, D4 (1-й); 4, группа Клейна (2-й)
Хроматическое число	3 (оба)
Хроматический индекс	4 (оба)
Свойства	снарк (оба); гипогамильтонов (оба); кубический (оба); тороидальный (только один)
	Медиафайлы на Викискладе

Снарк Блануши — 3-регулярный граф с 18 вершинами и 27 рёбрами^[2]. Существуют два таких графа. Носят имя нашедшего оба этих графа в 1946 году югославского математика Данило Блануши^[3]. (На момент 1946 года был известен всего один снарк — граф Петерсена.)

Как и все снарки, снарки Блануши являются связными кубическими графами без мостов с хроматическим индексом 4. Оба имеют хроматическое число 3, диаметр 4 и обхват 5. Они негамильтоновы, но гипогамильтоновы^[4].

Алгебраические свойстваПравить

Группа автоморфизмов первого снарка Блануши имеет порядок 8 и изоморфна диэдрической группе $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D_{4}$ — группе симметрии квадрата.

Группа автоморфизмов второго снарка Блануши является абелевой группой порядка 4 и изоморфна четверной группе Клейна — прямому произведению циклической группы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ на себя.

Характеристические многочлены первого и второго снарков Блануши:

\text{[math]}

(x-3)(x-1)^{3}(x+1)(x+2)(x^{4}+x^{3}-7x^{2}-5x+6)(x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+4)^{2}\

,

\text{[math]}

(x-3)(x-1)^{3}(x^{3}+2x^{2}-3x-5)(x^{3}+2x^{2}-x-1)(x^{4}+x^{3}-7x^{2}-6x+7)(x^{4}+x^{3}-5x^{2}-4x+3)

.

Обобщённые снарки БланушиПравить

Существуют обобщения первого и второго снарков Блануши до двух бесконечных семейств снарков порядка $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $8n+10$ , которые обозначаются $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B_{n}^{1}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B_{n}^{2}$ . Снарки Блануши являются наименьшими членами этих двух семейств^[5].

В 2007 Мазак (J. Mazak) доказал, что цикловой хроматический индекс обобщённых снарков Блануши $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B_{n}^{1}$ равен $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $3+{\frac {2}{n}}$ ^[6].

В 2008 Геблех (M. Ghebleh) доказал, что цикловой хроматический индекс обобщённых снарков Блануши $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B_{n}^{2}$ равен $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $3+{\frac {1}{\lfloor 1+3n/2\rfloor }}$ ^[7].

ГалереяПравить

хроматическое число первого снарка Блануши равно 3.
хроматический индекс первого снарка Блануши равен 4.
хроматическое число второго снарка Блануши равно 3.
хроматический индекс второго снарка Блануши равен 4.

ПримечанияПравить

↑ Orbanić, Alen; Pisanski, Tomaž; Randić, Milan; Servatius, Brigitte. Blanuša double // Math. Commun.. — 2004. — Т. 9, вып. 1. — С. 91–103.
↑ Weisstein, Eric W. Blanuša snarks (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Danilo Blanuša, «Problem cetiriju boja.» Glasnik Mat. Fiz. Astr. Ser. II. 1, 31-42, 1946.
↑ Eckhard Steen, «On Bicritical Snarks» Math. Slovaca, 1997.
↑ Read, R. C. and Wilson, R. J. An Atlas of Graphs. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 276 and 280, 1998.
↑ J. Mazak, Circular chromatic index of snarks, Master’s thesis, Comenius University in Bratislava, 2007.
↑ M. Ghebleh, Circular Chromatic Index of Generalized Blanuša Snarks, The Electronic Journal of Combinatorics, vol 15, 2008.

[1] Orbanić, Alen; Pisanski, Tomaž; Randić, Milan; Servatius, Brigitte. Blanuša double // Math. Commun.. — 2004. — Т. 9, вып. 1. — С. 91–103.

[2] Weisstein, Eric W. Blanuša snarks (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[3] Danilo Blanuša, «Problem cetiriju boja.» Glasnik Mat. Fiz. Astr. Ser. II. 1, 31-42, 1946.

[4] Eckhard Steen, «On Bicritical Snarks» Math. Slovaca, 1997.

[5] Read, R. C. and Wilson, R. J. An Atlas of Graphs. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 276 and 280, 1998.

[6] J. Mazak, Circular chromatic index of snarks, Master’s thesis, Comenius University in Bratislava, 2007.

[7] M. Ghebleh, Circular Chromatic Index of Generalized Blanuša Snarks, The Electronic Journal of Combinatorics, vol 15, 2008.

[2]

[3]

[1]

[4]

[5]

[6]

[7]