Непрерывная функция

Эта статья — о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение.

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

ОпределениеПравить

 

Пусть $D\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$D\subset \mathbb {R}$  и $f:D\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:D\to \mathbb {R}$ . Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке $x_0\in <!--\; \in \; -->D$$x_{0}\in D$ .

• Определение через предел: функция $f$$f$  непрерывна в точке $x_0$$x_{0}$ , предельной для множества $D$$D$ , если $f$$f$  имеет предел в точке $x_0$$x_{0}$ , и этот предел совпадает со значением функции $f(x_0)$$f(x_{0})$ :

  $\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ 

• Определение, использующее ε-δ-формализм: функция $f$$f$  непрерывна в точке $x_0\in <!--\; \in \; -->D$$x_{0}\in D$ , если для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$  такое, что для любого $x\in <!--\; \in \; -->D$$x\in D$ ,

  $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$ 

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента $x$$x$  удовлетворять условию $0<\left\vert x-a\right\vert$ , то есть быть отличными от а.

• Определение, использующее o-символику: функция $f$$f$  непрерывна в точке $x_0$$x_{0}$ , если

  $f(x_0+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})=f(x_0)+o(1)$$f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)$ , при $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\delta \to 0$ .

• Определение через колебания: функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Функция $f$$f$  непрерывна на множестве $E$$E$ , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция $f$$f$  класса $C^0$$C^{0}$  и пишут: $f\in <!--\; \in \; -->C^0(E)$$f\in C^{0}(E)$  или, подробнее, $f\in <!--\; \in \; -->C^0(E,\mathbb{R})$$f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$ .

Точки разрываПравить

Запрос «Точка разрыва» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если $A$$A$  — значение функции $f$$f$  в точке $a$$a$ , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с $A$$A$ . На языке окрестностей условие разрывности функции $f$$f$  в точке $a$$a$  получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки $A$$A$  области значений функции $f$$f$ , что как бы мы близко не подходили к точке $a$$a$  области определения функции $f$$f$ , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки $A$$A$ .

Классификация точек разрыва в R¹Править

Классификация разрывов функций $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — $f:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ . Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

•  

  Устранимый разрыв

•  

  Разрыв типа «скачок»

•  

  Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».

•  

  Точка существенного разрыва

Устранимая точка разрываПравить

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)\ne <!--\; \ne \; -->f(a)$$\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)$ ,

то точка $a$$a$  называется точкой устранимого разрыва функции $f$$f$  (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию $f$$f$  в точке устранимого разрыва и положить $f(a)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)$$f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)$ , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»Править

Разрыв «скачок» возникает, если

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->a-<!--\; -\; -->0}{lim}f(x)\ne <!--\; \ne \; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->a+0}{lim}f(x)$$\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)$ .

Точка разрыва «полюс»Править

Разрыв «полюс» возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->a-<!--\; -\; -->0}{lim}f(x)=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty$  или $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a+0}{lim}f(x)=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty$ .

Точка существенного разрываПравить

В точке существенного разрыва хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в Rⁿ, n>1Править

Для функций $f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$  и $f:\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$  нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

• Если $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)$$\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)$ , то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
• Полюс определяется как $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$ . В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что $f(x)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$f(x)\to \infty$ , каким путём бы он ни рос.
• Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

СвойстваПравить

ЛокальныеПравить

• Функция, непрерывная в точке $a$$a$ , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция $f$$f$  непрерывна в точке $a$$a$  и $f(a)>0$$f(a)>0$  (или $f(a)<0$ ), то $f(x)>0$$f(x)>0$  (или $f(x)<0$ ) для всех $x$$x$ , достаточно близких к $a$$a$ .
• Если функции $f$$f$  и $g$$g$  непрерывны в точке $a$$a$ , то функции $f+g$$f+g$  и $f\cdot <!--\; \cdot \; -->g$$f\cdot g$  тоже непрерывны в точке $a$$a$ .
• Если функции $f$$f$  и $g$$g$  непрерывны в точке $a$$a$  и при этом $g(a)\ne <!--\; \ne \; -->0$$g(a)\neq 0$ , то функция $f/g$$f/g$  тоже непрерывна в точке $a$$a$ .
• Если функция $f$$f$  непрерывна в точке $a$$a$  и функция $g$$g$  непрерывна в точке $b=f(a)$$b=f(a)$ , то их композиция $h=g\circ <!--\; \circ \; -->f$$h=g\circ f$  непрерывна в точке $a$$a$ .

ГлобальныеПравить

• Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции $f$$f$ , непрерывной на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ , является отрезок $[minf,maxf],$$[\min f,\ \max f],$  где минимум и максимум берутся по отрезку $[a,b]$$[a,b]$ .
• Если функция $f$$f$  непрерывна на отрезке $[a,b]$$[a,b]$  и $f(a)\cdot f(b)<0,$  то существует точка $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->(a,b),$$\xi \in (a,b),$  в которой $f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=0$$f(\xi )=0$ .
• Теорема о промежуточном значении: если функция $f$$f$  непрерывна на отрезке $[a,b]$$[a,b]$  и число $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  удовлетворяет неравенству $f(a)<\varphi <f(b)$  или неравенству $f(a)>\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}>f(b),$$f(a)>\varphi >f(b),$  то существует точка $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->(a,b),$$\xi \in (a,b),$  в которой $f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$f(\xi )=\varphi$ .
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке $[a,b]$$[a,b]$  непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами $f(a)$$f(a)$  и $f(b)$$f(b)$ .
• Если функции $f$$f$  и $g$$g$  непрерывны на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ , причем $f(a)<g(a)$  и $f(b)>g(b),$$f(b)>g(b),$  то существует точка $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->(a,b),$$\xi \in (a,b),$  в которой $f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=g(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}).$$f(\xi )=g(\xi ).$  Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

ПримерыПравить

Элементарные функцииПравить

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывомПравить

Функция $f:<!--\; :\; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},$$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$  задаваемая формулой

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}$ 

непрерывна в любой точке $x\ne <!--\; \ne \; -->0.$$x\neq 0.$  Точка $x=0$$x=0$  является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}f(x)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\sin <!--\; \; -->x}{x}=1\ne <!--\; \ne \; -->f(0).$$\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).$ 

Функция знакаПравить

Функция

$f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$ 

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке $x\ne <!--\; \ne \; -->0$$x\neq 0$ .

Точка $x=0$$x=0$  является точкой разрыва первого рода, причём

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0-<!--\; -\; -->}{lim}f(x)=-<!--\; -\; -->1\ne <!--\; \ne \; -->1=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0+}{lim}f(x)$$\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)$ ,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция ХевисайдаПравить

Функция Хевисайда, определяемая как

$f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$ 

является всюду непрерывной, кроме точки $x=0$$x=0$ , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке $x=0$$x=0$  существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

$f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$ 

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция ДирихлеПравить

Основная статья: Функция Дирихле

Функция

$f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$ 

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция РиманаПравить

Основная статья: Функция Римана (ТФДП)

Функция

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} ,\ {\text{НОД}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$ 

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел ($\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathbb{Q}$$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность $x_k=m_k/n_k\to <!--\; \to \; -->x\notin <!--\; \notin \; -->\mathbb{Q}$$x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q}$ , то с необходимостью $n_k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n_{k}\to \infty$ ). Во всех же рациональных точках она разрывна.

Вариации и обобщенияПравить

Равномерная непрерывностьПравить

Основная статья: Равномерная непрерывность

Функция $f$$f$  называется равномерно непрерывной на $E$$E$ , если для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$  такое, что для любых двух точек $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$  таких, что $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ , выполняется $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ .

Каждая равномерно непрерывная на множестве $E$$E$  функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

ПолунепрерывностьПравить

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция $f$$f$  называется полунепрерывной снизу в точке $a$$a$ , если для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует такая окрестность $U_E(a)$$U_{E}(a)$ , что $f(x)>f(a)-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$f(x)>f(a)-\varepsilon$  для всякого $x\in <!--\; \in \; -->U_E(a)$$x\in U_{E}(a)$ ;
• функция $f$$f$  называется полунепрерывной сверху в точке $a$$a$ , если для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует такая окрестность $U_E(a)$$U_{E}(a)$ , что $f(x)<f(a)+\varepsilon$  для всякого $x\in <!--\; \in \; -->U_E(a)$$x\in U_{E}(a)$ .

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию $f$$f$ , непрерывную в точке $a$$a$ , и уменьшить значение $f(a)$$f(a)$  (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке $a$$a$ ;
• если взять функцию $f$$f$ , непрерывную в точке $a$$a$ , и увеличить значение $f(a)$$f(a)$  (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке $a$$a$ .

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если $f(a)=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$f(a)=-\infty$ , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке $a$$a$ ;
• если $f(a)=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$f(a)=+\infty$ , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке $a$$a$ .

Односторонняя непрерывностьПравить

Функция $f$$f$  называется непрерывной слева (справа) в точке $x_0$$x_{0}$  её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: $f(x_0)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0-<!--\; -\; -->}{lim}f(x)$$f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)$  $(f(x_0)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0+}{lim}f(x)).$$(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$ 

Непрерывность почти всюдуПравить

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция $f$$f$  такова, что она непрерывна всюду на $E$$E$ , кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

ЛитератураПравить

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.