Симметрическая разность

Не следует путать с Разность множеств.

Симметри́ческая ра́зность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества $A$$A$ и $B$$B$, их симметрическая разность есть объединение элементов $A$$A$, не входящих в $B$$B$, с элементами $B$$B$, не входящими в $A$$A$. На письме для обозначения симметрической разности множеств $A$$A$ и $B$$B$ используется обозначение $A△<!--\; △\; -->B$$A\bigtriangleup B$, реже используется обозначение $A\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{-<!--\; -\; -->}B$$A\,{\dot {-}}\,B$ или $A+B$$A+B$.

Диаграмма Эйлера — Венна для симметрической разности

ОпределениеПравить

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

• симметрическая разность двух заданных множеств $A$$A$  и $B$$B$  — это такое множество $A△<!--\; △\; -->B$$A\bigtriangleup B$ , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

$A△<!--\; △\; -->B=\left(A\setminus <!--\; \setminus \; -->B\right)\cup <!--\; \cup \; -->\left(B\setminus <!--\; \setminus \; -->A\right).$$A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right).$ 

• симметрическая разность двух заданных множеств $A$$A$  и $B$$B$  — это такое множество $A△<!--\; △\; -->B$$A\bigtriangleup B$ , куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.

$A△<!--\; △\; -->B=\left(A\cup <!--\; \cup \; -->B\right)\setminus <!--\; \setminus \; -->\left(A\cap <!--\; \cap \; -->B\right).$$A\bigtriangleup B=\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right).$ 

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

СвойстваПравить

• Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;
• Симметрическая разность коммутативна:

$A△<!--\; △\; -->B=B\mathrm{△<!--\; △\; -->}A;$$A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;$ 

• Симметрическая разность ассоциативна:

$\left(A△<!--\; △\; -->B\right)\mathrm{△<!--\; △\; -->}C=A△<!--\; △\; -->\left(B\mathrm{△<!--\; △\; -->}C\right);$$\left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);$ 

• Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

$A\cap <!--\; \cap \; -->\left(B△<!--\; △\; -->C\right)=\left(A\cap <!--\; \cap \; -->B\right)△<!--\; △\; -->\left(A\cap <!--\; \cap \; -->C\right);$$A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);$ 

• Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

$A△<!--\; △\; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=A;$$A\bigtriangleup \varnothing =A;$ 

• Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

$A△<!--\; △\; -->A=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->};$$A\bigtriangleup A=\varnothing ;$ 

• В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;
• Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем ${\mathbb{Z}}_2.$$\mathbb {Z} _{2}.$ 
• В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.
• $\left(A_1\cap <!--\; \cap \; -->A_2\right)△<!--\; △\; -->\left(B_1\cap <!--\; \cap \; -->B_2\right)\subset <!--\; \subset \; -->\left(A_1△<!--\; △\; -->B_1\right)\cup <!--\; \cup \; -->\left(A_2△<!--\; △\; -->B_2\right);$$\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$ 
• $\left(A_1\cup <!--\; \cup \; -->A_2\right)△<!--\; △\; -->\left(B_1\cup <!--\; \cup \; -->B_2\right)\subset <!--\; \subset \; -->\left(A_1△<!--\; △\; -->B_1\right)\cup <!--\; \cup \; -->\left(A_2△<!--\; △\; -->B_2\right);$$\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$ 
• $\left(A_1\setminus <!--\; \setminus \; -->A_2\right)△<!--\; △\; -->\left(B_1\setminus <!--\; \setminus \; -->B_2\right)\subset <!--\; \subset \; -->\left(A_1△<!--\; △\; -->B_1\right)\cup <!--\; \cup \; -->\left(A_2△<!--\; △\; -->B_2\right);$$\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$ 

• Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо с единицей. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:

$A\cup <!--\; \cup \; -->B=A△<!--\; △\; -->B△<!--\; △\; -->\left(A\cap <!--\; \cap \; -->B\right),$$A\cup B=A\bigtriangleup B\bigtriangleup \left(A\cap B\right),$ 

$A\setminus <!--\; \setminus \; -->B=A△<!--\; △\; -->\left(A\cap <!--\; \cap \; -->B\right).$$A\setminus B=A\bigtriangleup \left(A\cap B\right).$ 

• Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств

$(A△<!--\; △\; -->B)\cup <!--\; \cup \; -->(A\cap <!--\; \cap \; -->B)=A\cup <!--\; \cup \; -->B$$(A\bigtriangleup B)\cup (A\cap B)=A\cup B$ 

ПримерПравить

Пусть

$A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7\}.$$A=\{1,2,3,4,5\},\quad B=\{3,4,5,6,7\}.$ 

Тогда

$A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B=\{1,2,6,7\}.$$A\,\triangle \,B=\{1,2,6,7\}.$ 

См. такжеПравить

• Операции над множествами

ЛитератураПравить

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 23—26.