Паракомпактное пространство
Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.
При этом: семейство множеств, лежащих в топологическом пространстве , называется локально конечным в , если у каждой точки существует окрестность в , пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства ; семейство множеств вписано в семейство множеств, если каждый элемент семейства содержится в некотором элементе семейства .)
Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство. Паракомпактность является одним из исходных требований в теории многообразий.
Каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально. Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы, подчиненные произвольному заданному открытому покрытию.
СвойстваПравить
- В присутствии паракомпактности некоторые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности,
- если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем;
- если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно полно по Чеху.
- Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами, но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт.
- Произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть.
- В классе хаусдорфовых пространств
- Прообраз паракомпакта при совершенном отображении является паракомпактом,
- Образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом.
- К числу паракомпактов относятся, в частности, пространства Линделёфа. Для пространства всех непрерывных вещественных функций на произвольном тихоновском пространстве, наделенном топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линдолёфовости.
- Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нем компактом, то оно паракомпактно.
- Все метризуемые пространства паракомпактны (теорема Стоуна) .
- Паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, то есть базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку , непременно образует базу в этой точке.
- Все компакты паракомпактны, но
- Но не каждое локально компактное хаусдорфово пространство паракомпактно.
Связанные определенияПравить
Счётно паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое счётное открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.
Слабо паракомпактное пространство (метакомпактное, точечно паракомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать точечно конечное открытое покрытие.
Сильно паракомпактное пространство (гипокомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать звёздно конечное открытое покрытие.
Субпаракомпактное пространство (Fσ-просеянное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать замкнутое σ-локально конечное покрытие
ЛитератураПравить
- Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|