Разбиение единицы

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

КонструкцияПравить

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства $M$$M$  открытыми множествами $D_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$D_{\alpha }$ . Разбиением единицы подчиненным покрытию $\{D_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}$$\{D_{\alpha }\}$  называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций $f_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$f_{\beta }$  на $M$$M$ , обладающих следующими свойствами:

• $0⩽<!--\; ⩽\; -->f_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}⩽<!--\; ⩽\; -->1.$$0\leqslant f_{\beta }\leqslant 1.$ 
• Носитель каждой из функций $f_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$f_{\beta }$  целиком содержится в одном из множеств $D_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$D_{\alpha }$ .
• Для любой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$  имеем $\underset{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{f}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(x)=1$$\sum _{\beta }{f_{\beta }(x)=1}$  (то есть при любом $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$  для не более, чем счётного множества функций $f_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(x)$$f_{\beta }(x)$  отлично от нуля и ряд $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i}(x)$$\sum _{i=1}^{\infty }{f_{\beta _{i}}(x)}$ , где $\{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1,{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2,...\}=\{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}:f_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(x)\ne <!--\; \ne \; -->0\}$$\{\beta _{1},\beta _{2},...\}=\{\beta :f_{\beta }(x)\neq 0\}$  сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов).

Если для любой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$  существует окрестность $W\ni <!--\; \ni \; -->x$$W\ni x$ , такая что пересечение $W\cap <!--\; \cap \; -->\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}{f}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$W\cap \mathrm {supp} \,f_{\beta }$  непусто не более чем для конечного числа индексов $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , то такое разбиение единицы называется локально конечным.

СвойстваПравить

• Для всякого открытого покрытия паракомпактного T₁-пространства существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия $T_1$$T_{1}$ -пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно.
• Для всякого открытого покрытия $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^\infty$ -многообразия, существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из функций класса $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^\infty$ .

ЛитератураПравить

Энгелькинг Р. Общая топология / перевод М.Я.Антоновского и А.В.Архангельского. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия / перевод Д.А.Василькова. — М.: иностранной литературы, 1956. — 250 с.