Покрытие множества

Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами.

ОпределенияПравить

• Пусть дано множество $X$$X$ . Семейство множеств $C=\{U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}$$C=\{U_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$  называется покрытием $X$$X$ , если

$X\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{U}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.$$X\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.$ 

• Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$$(X,{\mathcal {T}})$ , где $X$$X$  — произвольное множество, а $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$  — определённая на $X$$X$  топология. Тогда семейство открытых множеств $C=\{U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathcal{T}$$C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}\subseteq {\mathcal {T}}$  называется открытым покрытием множества $Y\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X$$Y \subseteq X$ , если

$Y\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{U}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.$$Y\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.$ 

Связанные определенияПравить

• Если $C$$C$  — покрытие множества $Y$$Y$ , то любое подмножество $D\subset <!--\; \subset \; -->C$$D\subset C$ , также являющееся покрытием $Y$$Y$ , называется подпокры́тием.
• Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие $D=\{V_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->B}$$D=\{V_{{\beta }}\}_{{\beta \in B}}$  вписано в покрытие $C=\{U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}$$C=\{U_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$ , если

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->B\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A$$\forall \beta \in B\;\exists \alpha \in A$  такое, что $V_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.$$V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.$ 

• Покрытие $C=\{U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}$$C=\{U_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$  множества $Y$$Y$  называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$  существует окрестность $U\ni <!--\; \ni \; -->y$$U\ni y$ , пересекающаяся лишь с конечным числом элементов $C$$C$ , то есть множество $\{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A\mid <!--\; \mid \; -->U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->U\ne \mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\}$$\{\alpha \in A\mid U_{{\alpha }}\cap U\not =\varnothing \}$  конечно.
• Покрытие $C=\{U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}$$C=\{U_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$  множества $Y$$Y$  называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством $U\in <!--\; \in \; -->C$$U\in C$  открыто в $U$$U$ , открыто и в $Y$$Y$ .
• $Y$$Y$  называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
• $Y$$Y$  называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

СвойстваПравить

• Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. такжеПравить

• Карта (математика)
• Нерв покрытия
• Размерность Лебега