Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

ОпределениеПравить

Семейство $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$  подмножеств множества $X$$X$  называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$  содержит множество $X$$X$ .
2. Если $E\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{S}$$E\in {\mathfrak {S}}$ , то и его дополнение $X\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}E\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{S}$$X\backslash E\in {\mathfrak {S}}$ .
3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$  принадлежит $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$ 

ПоясненияПравить

• Из пунктов 1 и 2 определения следует, что любая σ-алгебра содержит пустое множество $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\varnothing$ .
• Поскольку

  $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}}{A}_n=X\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}\left(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}}(X\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}{A}_n)\right),$$\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=X\backslash \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }(X\backslash A_{n})\right),$ 

в пункте 3 достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$ .

• Для любой системы множеств $\mathcal{S}$$\mathcal{S}$  существует наименьшая сигма-алгебра $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(\mathcal{S})$$\sigma ({\mathcal {S}})$ , являющаяся её надмножеством.
• Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств $\mathcal{S}$$\mathcal{S}$ ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(\mathcal{S})$$\sigma ({\mathcal {S}})$ , то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
• σ-алгебра, порождённая случайной величиной $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\xi :\,X\rightarrow {\mathbb {R}}$ , определяется следующим образом:

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\left\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(B)\mid <!--\; \mid \; -->B\in <!--\; \in \; -->\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$$\sigma (\xi )=\left\{\xi ^{{-1}}(B)\mid B\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R}})\right\}$ ,

где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$  — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве $X$$X$ , относительно которой случайная величина $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве $X$$X$  вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  её можно ввести и наделить таким образом пространство $X$$X$  структурой измеримого пространства, так что функция $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  будет измеримой.

Измеримое пространствоПравить

Основная статья: Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара $(X,\mathcal{F})$$(X, \mathcal F)$ , где $X$$X$  — множество, а $\mathcal{F}$${\mathcal {F}}$  — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

ПримерыПравить

• Борелевская сигма-алгебра
• Для любого множества $X$$X$  существует тривиа́льная σ-алгебра $\left\{X,\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\right\}$$\left\{X,\varnothing \right\}$ .
• Для любого множества $X$$X$  существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

ЛитератураПравить

• Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.