Свободная частица

Свободная частица — термин, который используется в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятия свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнение движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.

Классическая механикаПравить

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

• $E=T=\frac{m{v}^2}{2}$$E=T={\frac {mv^{2}}{2}}$ , где m — масса частицы, в нерелятивистском случае.
• $E=T=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->v^2/c^2}}-<!--\; -\; -->m{c}^2$$E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$ , где с — скорость света, в релятивистском случае.

Нерелятивистская квантовая механикаПравить

Квантовые частицы описываются уравнением Шредингера

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi$ 

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathbf{k}}=A_{\mathbf{k}}{e}^{i\mathbf{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{r}-<!--\; -\; -->itE/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$$\psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }$ ,

где

$E=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{k}^2}{2m}$$E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ ,

$A_{\mathbf{k}}$$A_{\mathbf {k} }$  любое комплексное число.

Волновой вектор $\mathbf{k}$$\mathbf {k}$  является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется $\mathbf{p}=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathbf{k}$$\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$ . В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется E. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Свободная частица в криволинейных координатахПравить

Гамильтониан свободной частицы

$H=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$ 

пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^i}\left(\sqrt{g}{g}^{ik}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^k}\right)$$\Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)$ 

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:

$H=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^i}\left(\sqrt{g}{g}^{ik}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^k}\right)$$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)$ 

Классическая функция Гамильтона имеет вид

$H_c(\mathbf{p},\mathbf{q})=\frac{1}{2m}{g}^{ik}(\mathbf{q})p_i{p}_k$$H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k}$ 

В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально

$H(\mathbf{P},\mathbf{Q})=\frac{1}{2m}\left(g^{ik}(\mathbf{Q})P_i{P}_k+i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{g}^{is}(\mathbf{Q}){\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{is}^k(\mathbf{Q})P_k\right)$$H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k}+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)$ 

Релятивистская квантовая частицаПравить

Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц. Для электронов и вместе с тем их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса p энергия частиц равняется

$E=\pm <!--\; \pm \; -->c\sqrt{m^2{c}^2+p^2}$$E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2}}}$ ,

где знак "+" соответствует электрону, а знак "-" соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частичка описывается уравнением Клейна — Гордона.

ЛитератураПравить

• Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.