Ряд Лиувилля — Неймана

Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана.

Получение рядаПравить

Будем искать решение уравнения Фредгольма

$u(x)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\underset{G}{\int <!--\; \int \; -->}K(x,y)u(y)dy+f(x)$$u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)$ 

методом последовательных приближений, положив $u^{(0)}(x)=f(x)$$u^{(0)}(x)=f(x)$ :

$u^{(p)}(x)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\underset{G}{\int <!--\; \int \; -->}K(x,y)u^{(p-<!--\; -\; -->1)}(y)dy+f(x)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(K{u}^{(p-<!--\; -\; -->1)})(x)+f(x),p=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots$ 

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

$u^{(p)}=\underset{k=0}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^k(K^{k}f)(x),p=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->$$u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots$ 

Функции $(K^{p}f)(x)$$(K^{p}f)(x)$  называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на $G$$G$ :

$\Vert <!--\; \Vert \; -->K^{p}f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_C=\Vert <!--\; \Vert \; -->K(K^{p-<!--\; -\; -->1}f){\Vert <!--\; \Vert \; -->}_C⩽<!--\; ⩽\; -->M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G\Vert <!--\; \Vert \; -->K^{p-<!--\; -\; -->1}f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_C⩽<!--\; ⩽\; -->\dots <!--\; \dots \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->(M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G{)}^p\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_C,p=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,$$\|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\|K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0,\;1,\;\ldots ,$ 

где $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G$$\mathrm {mes} \,G$  — мера множества $G$$G$ , а $M=\underset{G}{max}|K(x,y)|$$M=\max _{G}|K(x,\;y)|$ .

Из этой оценки следует, что ряд

$\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^k(K^{k}f)(x),x\in <!--\; \in \; -->G,$$\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,$ 

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_C\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{|}^k(M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G{)}^k=\frac{\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_C}{1-<!--\; -\; -->|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G},$$\|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={\frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G}},$ 

сходящимся в круге $|\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)$ , поэтому при таких $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения $u^{(p)}(x)$$u^{(p)}(x)$  при $p\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$p\to \infty$  равномерно стремятся к искомой функции $u(x)$$u(x)$ .

См. такжеПравить

• Резольвента интегрального уравнения
• Ряд Неймана

ЛитератураПравить

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5..