Род поверхности

Род поверхности — топологическая характеристика замкнутой поверхности $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$. Определяется как максимальное число замкнутых непересекающихся кривых не разделяющих поверхность на части.

Поверхность рода 0

Поверхность рода 1

Поверхность рода 2

Поверхность рода 3

ПримерыПравить

• Сфера имеет род 0.
• Тор имеет род 1.
• Проективная плоскость $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^2$$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$  имеет род 1.

СвойстваПравить

Ориентируемые поверхностиПравить

• Для ориентируемых поверхностей род равен числу ручек.

Эквивалентно, $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  имеет род $g$$g$ , если $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  гомеоморфна связной сумме сферы ($S^2$$S^{2}$ ) и $g$$g$  торов $T^2$$T^{2}$ :

$\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}\sim <!--\; \sim \; -->S^2\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}(\underset{g}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{T^2\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}\dots <!--\; \dots \; -->\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}{T}^2}})$$\Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {T^{2}\#\ldots \#T^{2}} _{g})$ .

• Род $g$$g$  ориентированной поверхности $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  может быть вычислен через её эйлерову характеристику $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})$$\chi (\Sigma )$ :

  $g=\frac{2-<!--\; -\; -->\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})}{2}$$g={\frac {2-\chi (\Sigma )}{2}}$ .

• Род поверхности $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}{P}^2$$\Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}$ , являющейся замыканием множества нулей $\{P(x,y)=0\}$$\{P(x,\;y)=0\}$  многочлена $P(x,y)$$P(x,\;y)$  степени $d$$d$  общего положения, выражается через его степень как:

  $g=\frac{(d-<!--\; -\; -->1)(d-<!--\; -\; -->2)}{2}.$$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}.$ 

• Род гиперэллиптической поверхности $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}{P}^2$$\Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}$ , являющейся замыканием множества:

  $\{(x,y)\mid <!--\; \mid \; -->y^2=P(x)\}$$\{(x,\;y)\mid y^{2}=P(x)\}$ .

Для свободного от квадратов многочлена $P(x)$$P(x)$  степени $d$$d$ , выражается через его степень как:

$g=\lceil \frac{d-<!--\; -\; -->1}{2}\rceil$$g=\left\lceil {\frac {d-1}{2}}\right\rceil$ .

Неориентируемые поверхностиПравить

• Для неориентируемых поверхностей род равен числу вклеенных в неё лент Мёбиуса

Эквивалентно, $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  имеет род $g$$g$ , если $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  гомеоморфна связной сумме сферы ($S^2$$S^{2}$ ) и $g$$g$  проективных плоскостей $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^2$$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$ :

$\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}\sim <!--\; \sim \; -->S^2\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}(\underset{g}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\mathbb{R}{\mathrm{P}}^2\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}\dots <!--\; \dots \; -->\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}\mathbb{R}{\mathrm{P}}^2}})$$\Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\dots \#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} _{g})$ .

• Род $g$$g$  неориентируемой поверхности $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  может быть вычислен через её эйлерову характеристику $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})$$\chi (\Sigma )$ :

  $g=2-<!--\; -\; -->\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})$$g=2-\chi (\Sigma )$ .

См. такжеПравить

• Род многообразия