Род многообразия

Род многообразия — гомоморфизм кольца кобордизмов замкнутых многообразий в некоторое кольцо, обычно кольцо рациональных чисел.

ОпределениеПравить

Род φ выбирает элемент φ(X) из некоторого кольца K для каждого многообразия X так, что

1. φ(X∪Y) = φ(X) + φ(Y) (где ∪ — несвязное объединение)
2. φ(X×Y) = φ(X)φ(Y)
3. φ(X) = 0, если X кобордантно нулю.

При этом рассматриваемые многообразия могут быть снабжены дополнительной структурой, например, ориентацией или спинорной структурой.

Кольцо K обычно является полем рациональных чисел, но также рассматривают ${\mathbb{Z}}_2$$\mathbb{Z } _{2}$  и кольцо модулярных форм.

Условия на φ можно переформулировать, сказав, что φ является гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с учётом структуры) в другое кольцо.

Род формальных степенных рядовПравить

Последовательность многочленов K₁, K₂,... от переменных р₁,р₂,... называется мультипликативной^[en], если из

$1+p_{1}z+p_2{z}^2+\dots <!--\; \dots \; -->=(1+q_{1}z+q_2{z}^2+\dots <!--\; \dots \; -->)(1+r_{1}z+r_2{z}^2+\dots <!--\; \dots \; -->)$$1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\ldots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\ldots )$ 

следует

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{K}_i(p_1,p_2,\dots <!--\; \dots \; -->)z^i=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{K}_j(q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->)z^j\cdot <!--\; \cdot \; -->\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{K}_k(r_1,r_2,\dots <!--\; \dots \; -->)z^k.$$\sum _{i}K_{i}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{i}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\cdot \sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}.$ 

Если Q(z) представляет собой формальный степенной ряд от z со свободным членом 1, мы можем определить мультипликативные последовательности

$K(p_1,p_2,p_3,\dots <!--\; \dots \; -->)=1+K_1(p_1)+K_2(p_1,p_2)+\dots <!--\; \dots \; -->$$K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=1+K_{1}(p_{1})+K_{2}(p_{1},p_{2})+\ldots$ 

как

$K(p_1,p_2,p_3,\dots <!--\; \dots \; -->)=Q(z_1)Q(z_2)Q(z_3)\dots <!--\; \dots \; -->,$$K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\ldots ,$ 

где p_k — это k-я элементарная симметрическая функция с неизвестными $z_i$$z_{i}$ .

Род φ ориентированных многообразий, соответствующий степенному ряду Q, определяется как

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(X)=K(p_1,p_2,p_3,\cdots <!--\; \cdots \; -->)$$\Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )$ 

где p_k есть k-й класс Понтрягина многообразия X. При этом степенной ряд Q называется характеристическим рядом рода φ. 

ПримерыПравить

L-род и сигнатураПравить

L-род определяется характеристическим рядом

$\frac{\sqrt{z}}{\mathrm{th}<!--\; \; -->(\sqrt{z})}=\underset{k⩾<!--\; ⩾\; -->0}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{2^{2k}{B}_{2k}{z}^k}{(2k)!}=1+\frac{z}{3}-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{45}+\dots <!--\; \dots \; -->$${{\sqrt {z}} \over \operatorname {th} ({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geqslant 0}{2^{2k}B_{2k}z^{k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\ldots$ 

где $B_{2k}$$B_{{2k}}$  — числа Бернулли. Первые несколько значений:

• $L_0=1$$L_{0}=1$ 
• $L_1=\frac{1}{3}{p}_1$$L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}$ 
• $L_2=\frac{1}{45}(7p_2-<!--\; -\; -->p_1^2)$$L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})$ 
• $L_3=\frac{1}{945}(62p_3-<!--\; -\; -->13p_1{p}_2+2p_1^3)$$L_{3}={\tfrac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})$ 
• $L_4=\frac{1}{14175}(381p_4-<!--\; -\; -->71p_1{p}_3-<!--\; -\; -->19p_2^2+22p_1^2{p}_2-<!--\; -\; -->3p_1^4)$$L_{4}={\tfrac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4})$ 

Если M — замкнутое гладкое ориентированное многообразие размерности 4n с классами Понтрягина $p_i=p_i(M)$$p_{i}=p_{i}(M)$ , то значение L-рода на фундаментальном классе $[M]$$[M]$  равно сигнатуре  $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(M)$$\sigma (M)$ , то есть

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(M)=L_n([M])$$\sigma (M)=L_{n}([M])$ .

Тот факт, что L₂ всегда целочисленный для гладких многообразий, использовал Джон Милнор в доказательстве существования кусочно-линейного 8-мерного многообразия без гладкой структуры. 

Â-родПравить

Â-род определяется характеристическим рядом

$Q(z)=\frac{\sqrt{z}/2}{\mathrm{sh}<!--\; \; -->(\sqrt{z}/2)}=1-<!--\; -\; -->z/24+7z^2/5760-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->.$$Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \operatorname {sh} ({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/5760-\ldots .$ 

 Первые несколько значений

• ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_0=1$${\hat {A}}_{0}=1$ 
• ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_1=-<!--\; -\; -->\frac{1}{24}{p}_1$${\hat {A}}_{1}=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}$ 
• ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_2=\frac{1}{5760}(-<!--\; -\; -->4p_2+7p_1^2)$${\hat {A}}_{2}={\tfrac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})$ 
• ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_3=\frac{1}{967680}(-<!--\; -\; -->16p_3+44p_2{p}_1-<!--\; -\; -->31p_1^3)$${\hat {A}}_{3}={\tfrac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})$ 
• ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_4=\frac{1}{464486400}(-<!--\; -\; -->192p_4+512p_3{p}_1+208p_2^2-<!--\; -\; -->904p_2{p}_1^2+381p_1^4)$${\hat {A}}_{4}={\tfrac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})$ 

СвойстваПравить

• Â-род спинорного многообразия есть целое число,
  • Â-род спинорного многообразия размерности $4(\mathrm{mod}8)$$4{\pmod {8}}$  — чётное целое число.  
• Â-род спинорного многообразия равен индексу оператора Дирака.
• Если компактное спинорное  многообразие допускает метрику положительной скалярной кривизны, то его Â-род равен нулю.

См. такжеПравить

• Теорема Атьи — Зингера об индексе

СсылкиПравить

• Friedrich Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry ISBN 3-540-58663-6
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Manifolds and Modular Forms ISBN 3-528-06414-5
• Milnor, Stasheff, Characteristic classes, ISBN 0-691-08122-0
• A.F. Kharshiladze (2001), "Pontryagin class" (недоступная ссылка), in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Elliptic genera" (недоступная ссылка), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4