Гиперэллиптическая поверхность

Гиперэллиптическая или биэллиптическая поверхность — это поверхность, морфизм Альбанезе которой является эллиптическим расслоением^[en]. Любая такая поверхность может быть записана как факторгруппа произведения двух эллиптических кривых по конечной абелевой группе. Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов с размерностью Кодайры^[en] 0 в классификации Энриквеса — Кодайры.

ИнвариантыПравить

Размерность Кодайры равна 0.

Ромб Ходжа:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

КлассификацияПравить

Любая гиперэллипическая поверхность является фактором $(E\times <!--\; \times \; -->F)/G$$(E{\times }F)/G$ , где $E=\mathbf{C}/\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$E=\mathbf {C} /\Lambda$ , F — эллиптические кривые, а G — подгруппа группы F (действующая на F переносами). Существует семь семейств гиперэллиптических поверхностей.

Порядок K	$\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$	G	Действие G на E
2	Любая	$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->e$$e\rightarrow -e$
2	Любая	$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->e,e\to <!--\; \to \; -->e+c,-<!--\; -\; -->c=c$$e\rightarrow -e,e\rightarrow e+c,-c=c$
3	$\mathbf{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbf{Z}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}e$$e\rightarrow \omega e$
3	$\mathbf{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbf{Z}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}e,e\to <!--\; \to \; -->e+c,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}c=c$$e\rightarrow \omega e,e\rightarrow e+c,{\omega }c=c$
4	$\mathbf{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbf{Z}i$$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf{Z}/\mathbf{Z}$$\mathbf {Z} /\mathbf {Z}$	$e\to <!--\; \to \; -->ie$$e\rightarrow ie$
4	$\mathbf{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbf{Z}i$$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$$\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\to <!--\; \to \; -->ie,e\to <!--\; \to \; -->e+c,ic=c$$e\rightarrow ie,e\rightarrow e+c,ic=c$
6	$\mathbf{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbf{Z}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf{Z}/6\mathbf{Z}$$\mathbf {Z} /6\mathbf {Z}$	$e\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}e$$e\rightarrow -{\omega }e$

Здесь $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — первообразный кубический корень из 1, а i — примитивный корень 4-ой степени из 1.

Квазигигиперэллиптические пространстваПравить

Квазигигиперэллиптическое пространство — это поверхность, канонический дивизор^[en] которого численно эквивалентен нулю, отображение Альбанезе^[en] отображает в эллиптическую кривую, а все его слои являются рациональными кривыми с каспами. Они существуют только в характеристиках 2 или 3. Их второе число Бетти равно 2, второе число Чженя равно нулю, как и голоморфная эйлерова характеристика^[en]. Классификацию провели Бомбиери и Мамфорд, которые нашли шесть случаев в характеристике 3 (в этом случае 6K= 0) и восемь случаев в характеристике 2 (в этом случае равно нулю 6K или 4K). Любая квазиэллиптическая поверхность является фактором $(E-<!--\; -\; -->F)/G$$(E-F)/G$ , где E — рациональная кривая с одним каспом, F является эллиптической кривой, а G является конечной групповой подсхемой^[en] группы F (действующей на F переносами).