Расстояние Гарнака

Расстояние Гарнака — функция от двух комплексных чисел заданной области $D\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{C}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$D\subset \mathbb {C} _{\infty }$, наименьшее действительное число ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_D(z,w)$$\tau _{D}(z,w)$, такое что для каждой положительной гармонической функции $h$$h$ над $D$$D$ выполнены неравенства:

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_D(z,w{)}^{-<!--\; -\; -->1}h(w)⩽<!--\; ⩽\; -->h(z)⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_D(z,w)h(w)$$\tau _{D}(z,w)^{-1}h(w)\leqslant h(z)\leqslant \tau _{D}(z,w)h(w)$.

Существование такой функции следует из неравенства Гарнака. Введено немецким математиком Акселем Гарнаком; широко используется в комплексном анализе в вопросах, связанных с гармоническими функциями, применяется для решения задачи Дирихле.

Несмотря на название, не является функцией расстояния в строгом смысле; при этом функция $\log <!--\; \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_D$$\log \tau _{D}$ является непрерывной псевдометрикой.

Принцип субординации: для мероморфного преобразования $f:D_1\to <!--\; \to \; -->D_2$$f:D_{1}\to D_{2}$ между областями $D_1$$D_{1}$ и $D_2$$D_{2}$ в ${\mathbb{C}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\mathbb {C} _{\infty }$ и любых $z,w\in <!--\; \in \; -->D_1$$z,w\in D_{1}$ имеет место:

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{D_2}(f(z),f(w))⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{D_1}(z,w)$$\tau _{D_{2}}(f(z),f(w))\leqslant \tau _{D_{1}}(z,w)$,

причём равенство достигается только если $f$$f$ является конформным отображением. В частности, из этого следует, что если $D_1\subset <!--\; \subset \; -->D_2$$D_{1}\subset D_{2}$, то ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{D_2}(z,w)⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{D_1}(z,w)$$\tau _{D_{2}}(z,w)\leqslant \tau _{D_{1}}(z,w)$.

Например, для открытого круга $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(w,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})$$\Delta =\Delta (w,\rho )$ с центром в $w$$w$ и радиусом $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ и любого $z\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$z\in \Delta$:

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}(z,w)=\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}+|z-<!--\; -\; -->w|}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}-<!--\; -\; -->|z-<!--\; -\; -->w|}$$\tau _{\Delta }(z,w)={\frac {\rho +|z-w|}{\rho -|z-w|}}$.

Литература Править

• Thomas Ransford. Potential Theory in the Complex Plane. — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0521-46120-0.

• Johannes Köhn. Die Harnacksche Metrik in der Theorie der harmonischen Funktionen // Mathematische Zeitschrift. — 1966. — С. 50—64.