Неравенство Гарнака

Неравенство Гарнака — если функция $U(M)=U(x_1,...,x_k)$$U(M)=U(x_{1},...,x_{k})$, гармоническая в $k$$k$-мерном шаре $Q_R$$Q_{R}$ радиуса $R$$R$ с центром в некоторой точке $M_0$$M_{0}$, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках $M$$M$ внутри рассматриваемого шара справедливы следующие неравенства: $R^{k-<!--\; -\; -->2}\frac{R-<!--\; -\; -->r}{(R+r{)}^{k-<!--\; -\; -->1}}U(M_0)⩽<!--\; ⩽\; -->U(M)⩽<!--\; ⩽\; -->R^{k-<!--\; -\; -->2}\frac{R+r}{(R-<!--\; -\; -->r{)}^{k-<!--\; -\; -->1}}U(M_0)$$R^{{k-2}}{\frac {R-r}{(R+r)^{{k-1}}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant R^{{k-2}}{\frac {R+r}{(R-r)^{{k-1}}}}U(M_{0})$, где $r=\rho (M_{0},M)<R$.

ДоказательствоПравить

В силу формулы Пуассона для точек $M$$M$  внутри шара $Q_{{R'}}(R'<R)$  имеем $U(M)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{k/2}{R}^{\prime }}\underset{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}(Q_{R^{\prime }})U(N)\frac{{R^{\prime }}^2-<!--\; -\; -->r^2}{({R^{\prime }}^2+r^2-<!--\; -\; -->2R^{\prime }r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{)}^{r/2}}d\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$U(M)={\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{{k/2}}R'}}\int \limits _{{\gamma }}(Q_{{R'}})U(N){\frac {{R'}^{{2}}-r^{2}}{({R'}^{2}+r^{2}-2R'r\cos \theta )^{{r/2}}}}d\sigma$ . Учитывая неравенства $(R^{\prime }-<!--\; -\; -->r{)}^2⩽<!--\; ⩽\; -->{R^{\prime }}^2+r^2-<!--\; -\; -->2R^{\prime }r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->(R^{\prime }+r{)}^2$$(R'-r)^{2}\leqslant {R'}^{2}+r^{2}-2R'r\cos \theta \leqslant (R'+r)^{2}$ , благодаря условию $U(N)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$U(N)\geqslant 0$  получим отсюда, что ${R^{\prime }}^{k-<!--\; -\; -->2}\frac{{R^{\prime }}^2-<!--\; -\; -->r^2}{(R^{\prime }+r{)}^k}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{k/2}{R^{\prime }}^{k-<!--\; -\; -->1}}\underset{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}(Q_{R^{\prime }})U(N)d\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->U(M)⩽<!--\; ⩽\; -->{R^{\prime }}^{k-<!--\; -\; -->2}\frac{{R^{\prime }}^2-<!--\; -\; -->r^2}{(R^{\prime }-<!--\; -\; -->r{)}^k}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k/2)}{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{k/2}{R^{\prime }}^{k-<!--\; -\; -->1}}\underset{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}(Q_{R^{\prime }})U(N)d\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$${R'}^{{k-2}}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'+r)^{k}}}{\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{{k/2}}{R'}^{{k-1}}}}\int \limits _{\gamma }(Q_{{R'}})U(N)d\sigma \leqslant U(M)\leqslant {R'}^{{k-2}}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'-r)^{k}}}{\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{{k/2}}{R'}^{{k-1}}}}\int \limits _{\gamma }(Q_{{R'}})U(N)d\sigma$ , или, применяя теорему Гаусса ${R^{\prime }}^{k-<!--\; -\; -->2}\frac{{R^{\prime }}^2-<!--\; -\; -->r^2}{(R^{\prime }+r{)}^k}U(M_0)⩽<!--\; ⩽\; -->U(M)⩽<!--\; ⩽\; -->{R^{\prime }}^{k-<!--\; -\; -->2}\frac{{R^{\prime }}^2-<!--\; -\; -->r^2}{(R^{\prime }-<!--\; -\; -->r{)}^k}U(M_0)$${R'}^{{k-2}}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'+r)^{k}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant {R'}^{{k-2}}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'-r)^{k}}}U(M_{0})$ . Таким образом, переходя к пределу при $R^{\prime }\to <!--\; \to \; -->R$$R'\rightarrow R$ , получим неравенство Гарнака $R^{k-<!--\; -\; -->2}\frac{R-<!--\; -\; -->r}{(R+r{)}^{k-<!--\; -\; -->1}}U(M_0)⩽<!--\; ⩽\; -->U(M)⩽<!--\; ⩽\; -->R^{k-<!--\; -\; -->2}\frac{R+r}{(R-<!--\; -\; -->r{)}^{k-<!--\; -\; -->1}}U(M_0)$$R^{{k-2}}{\frac {R-r}{(R+r)^{{k-1}}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant R^{{k-2}}{\frac {R+r}{(R-r)^{{k-1}}}}U(M_{0})$ .

ЛитератураПравить

• Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций, М., Наука, 1968, 206 стр., тир 39500 экз.