Удлинённый квадратный гиробикупол

Удлинённый квадратный гиробикупол или псевдоромбокубооктаэдр (по Залгаллеру — удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол) — один из многогранников Джонсона (J₃₇ = (по Залгаллеру) М₅+П₈+М₅); один из двух псевдооднородных многогранников^[en], другой — большой псевдоромбокубооктаэдр. Тело, обычно, не считается архимедовым телом, хотя его грани и являются правильными многоугольниками и многоугольники вокруг каждой вершины те же самые, но, в отличие от 13 архимедовых тел, многогранник не обладает глобальной симметрией, переводящей любую вершину в любую другую (хотя Грюнбаум предлагал добавить многогранник к традиционному списку архимедовых тел в качестве 14-го тела).

Псевдоромбокубооктаэдр
Псевдоромбокубооктаэдр
Тип	Многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый, единственная вершинная фигура
Комбинаторика
Элементы	48 рёбер 24 вершины
Грани	8 треугольников, 18 квадратов
Конфигурация вершины	8+16(3.43)
Двойственный многогранник	Дельтоидный псевдоикосотетраэдр[en]
Развёртка
Классификация
Группа симметрии	D4d
Медиафайлы на Викискладе

Тело, возможно, было открыто Иоганном Кеплером в его перечислении архимедовых тел, но первое ясное появление многогранника в печати было в работе Дункана Соммервиля^[en] в 1905. Многогранник был независимо переоткрыт Д. Ч. П. Миллером^[en] в 1930 (по ошибке, когда он пытался построить модель ромбокубооктаэдра, а затем его переоткрыл В. Г. Ашкинузе в 1957.

Многогранник Джонсона — это один из 92 строго выпуклых многогранников, имеющих правильные грани, но не являющийся однородным (то есть он не правильный, не архимедов, не призма или антипризма). Название многограннику дал Нортон Джонсон^[en], который первым перечислил эти многогранники в 1966.

Построение и связь с ромбокубоктаэдромПравить

Как показывает название, многогранник может быть построен как удлинение квадратного гирокупола^[en] (J₂₉ = М₅+М₅) со вставкой восьмиугольной призмы между двумя половинками.

Ромбокубооктаэдр

Разобранный на секции ромбокубооктаэдр

Псевдоромбокубооктаэдр

Тело можно рассматривать также как результат поворота одного из квадратных куполов (J₄ = М₅) ромбокубооктаэдра (который является одним из архимедовых тел и который известен как удлинённый квадратный ортобикупол) на 45 градусов. Таким образом, многогранник является повёрнутым ромбокубооктаэдром, откуда тело получило второе название — псевдоромбокубооктаэдр. Иногда о нём говорят как о «четырнадцатом архимедовом теле».

Это свойство не имеет место для пятиугольного двойника, повёрнутого ромбоикосододекаэдра.

Симметрии и классификацияПравить

Удлинённый квадратный гиробикупол обладает симметрией D_4d. Тело локально вершинно однородно — расположение четырёх граней, смежных любой вершине, то же самое, что и у других вершин. Это свойство уникально среди тел Джонсона. Однако многогранник не вершинно транзитивен, а следовательно, не считается (как правило) архимедовым телом, поскольку существует пара вершин, которые не переходят одна в другую изометрией. По существу, можно различить два вида вершин по «соседям их соседей.» Другой путь увидеть, что многогранник не вершинно транзитивен — обратить внимание на то, что существует только один пояс из восьми квадратов по экватору. Если выкрасить грани согласно симметрии D_4d, получим:

pseudorhombicuboctahedron	Дельтоидный псевдоикосотетраэдр[en] (двойственный)
развёртка

Есть 8 (зелёных) квадратов вдоль экватора, 4 (красных) треугольника и 4 (жёлтых) квадрата над и под экватором и по одному (синему) квадрату на каждом полюсе.

Связанные многогранники и сотыПравить

Удлинённый квадратный гиробикупол может образовать заполняющие пространство соты совместно с правильным тетраэдром, кубом и кубооктаэдром. Он также образует другие соты с тетраэдром, квадратной пирамидой и различными комбинациями кубов, удлинённых четырёхугольных пирамид и удлинённых четырёхугольных бипирамид.

 

Большой псевдоромбокубоктаэдр^[en]

Большой псевдоромбокубоктаэдр^[en] является невыпуклым аналогом псевдоромбокубооктаэдра, он построен аналогичным образом из невыпуклого большого ромбокубооктаэдра^[en].

В химииПравить

Ион поливанадата [V₁₈O₄₂]¹²⁻ имеет псевдоромбокубооктаэдральную структуру, в которой каждая квадратная грань действует как основание пирамиды VO₅.

ЛитератураПравить

• Branko Grünbaum. An enduring error (англ.) // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, iss. 3. — P. 89–101. — doi:10.4171/EM/120. Перепечатано в
  • The Best Writing on Mathematics 2010 (англ.) / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
• D. M. Y. Sommerville. Semi-regular networks of the plane in absolute geometry (англ.) // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1905. — Vol. 41. — P. 725–747. — doi:10.1017/s0080456800035560.. Как цитировано у Грюнбаума ((Grünbaum 2009)).
• W.W. Rouse Ball, H. S. M. Coxeter. Mathematical recreations and essays (англ.). — American edition. — New York: The Macmillan Company, 1947. — P. 137.
• Norman W. Johnson. Convex polyhedra with regular faces (англ.) // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Vol. 18. — P. 169–200. — doi:10.4153/cjm-1966-021-8.
• Norman Greenwood^[en], Alan Earnshaw. Chemistry of the Elements (англ.). — 2nd. — Butterworth-Heinemann, 1997. — ISBN 0-08-037941-9.

Дополнительная литератураПравить

• , ISBN 0-520-03056-7  Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms, p. 25 Pseudo-rhombicuboctahedron

СсылкиПравить

• Eric W. Weisstein Elongated square gyrobicupola (Johnson solid) Mathworld
• George Hart: pseudo-rhombicuboctahedra